(1 Ponto) L^2 comuta com Lx.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o operador quadrado do momento angular, L^2, comuta com o operador componente do momento angular na direção x, Lx. Isso está dentro da matéria de mecânica quântica, especificamente na parte que estuda os operadores de momento angular. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades dos comutadores e as relações entre os operadores de momento angular.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois operadores comutam. Dois operadores, A e B, comutam se o comutador [A, B] = AB - BA for igual a zero. Se isso for verdadeiro, dizemos que os operadores são compatíveis e podem ser medidos simultaneamente com certeza.

Passo 3

Agora, vamos expressar L^2 em termos dos componentes do momento angular:
L^2 = Lx^2 + Ly^2 + Lz^2
Queremos calcular o comutador [L^2, Lx]. Substituindo a expressão de L^2, temos:
[Lx^2 + Ly^2 + Lz^2, Lx]
Isso pode ser separado em três comutadores:
[Lx^2, Lx] + [Ly^2, Lx] + [Lz^2, Lx]

Passo 4

Vamos analisar cada um desses comutadores:
  1. Primeiro termo: [Lx^2, Lx]. Como qualquer operador comuta com ele mesmo, esse comutador é zero:
[Lx^2, Lx] = 0
  1. Segundo termo: [Ly^2, Lx]. Usando a propriedade dos comutadores [AB, C] = A[B, C] + [A, C]B, temos:
[Ly^2, Lx] = Ly[Ly, Lx] + [Ly, Lx]Ly
Sabemos que [Ly, Lx] = ihbar Lz (uma das regras de comutação dos componentes do momento angular). Então:
[Ly^2, Lx] = Ly(ihbar Lz) + (ihbar Lz)Ly = ihbar (LyLz + LzLy)
  1. Terceiro termo: [Lz^2, Lx]. De forma similar:
[Lz^2, Lx] = Lz[Lz, Lx] + [Lz, Lx]Lz
E sabemos que [Lz, Lx] = -ihbar Ly, então:
[Lz^2, Lx] = Lz(-ihbar Ly) + (-ihbar Ly)Lz = -ihbar (LzLy + LyLz)

Passo 5

Agora, somando os três termos:
[L^2, Lx] = 0 + ihbar (LyLz + LzLy) - ihbar (LzLy + LyLz) = 0
Os termos com LyLz e LzLy se cancelam, resultando em zero.

Resposta

O comutador [L^2, Lx] é igual a zero, ou seja, L^2 comuta com Lx.

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