(1 Ponto)
comuta com
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para verificar se o operador quadrado do momento angular,
, comuta com o operador componente do momento angular na direção x,
. Isso está dentro da matéria de mecânica quântica, especificamente na parte que estuda os operadores de momento angular. Para resolver, vamos precisar usar as propriedades dos comutadores e as relações entre os operadores de momento angular.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que significa que dois operadores comutam. Dois operadores,
e
, comutam se o comutador
for igual a zero. Se isso for verdadeiro, dizemos que os operadores são compatíveis e podem ser medidos simultaneamente com certeza.
Passo 3
Agora, vamos expressar
em termos dos componentes do momento angular:
Queremos calcular o comutador
. Substituindo a expressão de
, temos:
Isso pode ser separado em três comutadores:
Passo 4
Vamos analisar cada um desses comutadores:
- Primeiro termo:
. Como qualquer operador comuta com ele mesmo, esse comutador é zero:
- Segundo termo:
. Usando a propriedade dos comutadores , temos:
Sabemos que
(uma das regras de comutação dos componentes do momento angular). Então:
- Terceiro termo:
. De forma similar:
E sabemos que
, então:
Passo 5
Agora, somando os três termos:
Os termos com
e
se cancelam, resultando em zero.
Resposta
O comutador
é igual a zero, ou seja,
comuta com
.