( 1 , 0 ponto) Considere um prisma cuja base é um triângulo equilátero regular de lado 10 cm . A altura do prisma é 30 cm . Suponha que as faces triangulares estão a diferentes temperaturas, uma face está 30^circ C e a outra está a 60^circ. O prisma é construida de amianto (k=0,173 W / m cdot K). No entanto, um gênio chamado Mandelbrot transformou a região triangular em um fractal chamado de triângulo de Sierpinski de nível 1.
(b)
Com isso, teremos espaços preenchidos de ar cuja condutividade térmica é, k=0,026 W / m ^circ C. Suponha que as áreas laterais do prisma estão isoladas. Determine a taxa de calor através da área triangular.

Passo 1

Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um prisma com base triangular equilátera de lado 10 cm e altura de 30 cm. As faces triangulares estão a temperaturas diferentes: uma a 30 °C e a outra a 60 °C. O prisma é feito de amianto com condutividade térmica . Além disso, o triângulo foi transformado em um triângulo de Sierpinski de nível 1, criando espaços preenchidos com ar, que têm condutividade térmica . Nosso objetivo é determinar a taxa de calor que passa pela área triangular.

Passo 2

Vamos começar calculando a área da base triangular original. Como é um triângulo equilátero, a área A = raiz34 times lado^2 pode ser calculada pela fórmula:
A = raiz34 times (0,10 , m)^2 = raiz34 times 0,01 , m^2 approx 0,00433 , m^2
Substituindo o valor do lado:

Passo 3

Após a transformação no triângulo de Sierpinski de nível 1, a área é dividida em 4 triângulos menores, removendo o central. Portanto, restam 3 triângulos de amianto e 1 triângulo central preenchido com ar. A área de cada triângulo menor é:
Amenor = raiz34 times (0,10 , m2)^2 = raiz34 times 0,0025 , m^2 approx 0,00108 , m^2
Logo, a área total de amianto é:
Aamianto = 3 times 0,00108 , m^2 = 0,00324 , m^2
E a área de ar é:
Aar = 1 times 0,00108 , m^2 = 0,00108 , m^2

Passo 4

Para calcular a taxa de calor, vamos usar a Lei de Fourier para condução térmica:
dotQ = k times A times De
Onde:
  • é a condutividade térmica do material,
  • é a área através da qual ocorre a condução,
  • é a diferença de temperatura,
  • é a distância (altura do prisma).
Vamos calcular separadamente para o amianto e para o ar.

Passo 5

Calculando para o amianto:
dotQamianto = 0,173 , W/m cdot K times 0,00324 , m^2 times 30 , °C0,3 , m = 0,173 times 0,00324 times 300,3 approx 0,0559 , W

Passo 6

Calculando para o ar:
dotQar = 0,026 , W/m cdot K times 0,00108 , m^2 times 30 , °C0,3 , m = 0,026 times 0,00108 times 300,3 approx 0,00281 , W

Passo 7

A taxa de calor total é a soma das taxas de calor através do amianto e do ar:
dotQtotal = dotQamianto + dotQar = 0,0559 , W + 0,00281 , W approx 0,0587 , W

Resposta

A taxa de calor que passa pela área triangular é aproximadamente .

Exercícios relacionados