(
ponto) Considere um prisma cuja base é um triângulo equilátero regular de lado 10 cm . A altura do prisma é 30 cm . Suponha que as faces triangulares estão a diferentes temperaturas, uma face está
e a outra está a
. O prisma é construida de amianto
. No entanto, um gênio chamado Mandelbrot transformou a região triangular em um fractal chamado de triângulo de Sierpinski de nível 1.
(b)
Com isso, teremos espaços preenchidos de ar cuja condutividade térmica é,
. Suponha que as áreas laterais do prisma estão isoladas. Determine a taxa de calor através da área triangular.
(b)
Com isso, teremos espaços preenchidos de ar cuja condutividade térmica é,
Passo 1
Primeiro, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um prisma com base triangular equilátera de lado 10 cm e altura de 30 cm. As faces triangulares estão a temperaturas diferentes: uma a 30 °C e a outra a 60 °C. O prisma é feito de amianto com condutividade térmica
. Além disso, o triângulo foi transformado em um triângulo de Sierpinski de nível 1, criando espaços preenchidos com ar, que têm condutividade térmica
. Nosso objetivo é determinar a taxa de calor que passa pela área triangular.
Passo 2
Vamos começar calculando a área da base triangular original. Como é um triângulo equilátero, a área
pode ser calculada pela fórmula:
Substituindo o valor do lado:
Passo 3
Após a transformação no triângulo de Sierpinski de nível 1, a área é dividida em 4 triângulos menores, removendo o central. Portanto, restam 3 triângulos de amianto e 1 triângulo central preenchido com ar. A área de cada triângulo menor é:
Logo, a área total de amianto é:
E a área de ar é:
Passo 4
Para calcular a taxa de calor, vamos usar a Lei de Fourier para condução térmica:
Onde:
-
é a condutividade térmica do material, -
é a área através da qual ocorre a condução, -
é a diferença de temperatura, -
é a distância (altura do prisma).
Vamos calcular separadamente para o amianto e para o ar.
Passo 5
Calculando para o amianto:
Passo 6
Calculando para o ar:
Passo 7
A taxa de calor total é a soma das taxas de calor através do amianto e do ar:
Resposta
A taxa de calor que passa pela área triangular é aproximadamente
.