Determine os traços de um plano ( alpha ) que contém uma horizontal (M)(N) e uma frontal (N)(P), utilizando traços de apenas uma dessas retas. Considere:
(M) [-1 ;-4 ;-2]
(N) [-5 ; ? ; ?]
§ [-2 ; 1 ;-6].

Passo 1

Vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os traços (interceptações com os eixos) de um plano, chamado de α. Esse plano contém duas retas: a horizontal de M a N e a frontal de N a P. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria espacial, como a equação de um plano e como encontrar seus traços. Vamos por partes!

Passo 2

Primeiro, precisamos identificar todos os pontos dados. Sabemos as coordenadas de M e P, mas N está incompleta: N = (-5; ?; ?). Como N está nas duas retas que estão no plano α, vamos usar isso para encontrar as coordenadas completas de N.

Passo 3

Considerando que a reta M-N é horizontal, isso significa que seus componentes na direção y e z são constantes. Olhando para M = (-1; -4; -2) e N = (-5; ?; ?), percebemos que as coordenadas y e z de N devem ser iguais às de M para manter a horizontalidade. Então:
N = (-5; -4; -2)

Passo 4

Agora temos os três pontos:
  • M = (-1; -4; -2)
  • N = (-5; -4; -2)
  • P = (-2; 1; -6)
Para encontrar a equação do plano α que passa por esses pontos, vamos achar dois vetores diretores no plano e depois calcular o vetor normal.

Passo 5

Vamos calcular os vetores diretores:
  • Vetor MN = N - M = (-5 - (-1); -4 - (-4); -2 - (-2)) = (-4; 0; 0)
  • Vetor NP = P - N = (-2 - (-5); 1 - (-4); -6 - (-2)) = (3; 5; -4)

Passo 6

O vetor normal ao plano α é o produto vetorial dos vetores MN e NP:
n = MN times NP
Calculando:
n = i & j & k -4 & 0 & 0 3 & 5 & -4 = i(0 cdot (-4) - 0 cdot 5) - j(-4 cdot (-4) - 0 cdot 3) + k(-4 cdot 5 - 0 cdot 3) = i(0) - j(16) + k(-20) = (0; -16; -20)
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -4:
n = (0; 4; 5)

Passo 7

Com o vetor normal 0(x + 5) + 4(y + 4) + 5(z + 2) = 0 e o ponto N = (-5; -4; -2), podemos escrever a equação do plano α:
4(y + 4) + 5(z + 2) = 0
Simplificando:
4y + 16 + 5z + 10 = 0
4y + 5z + 26 = 0

Passo 8

Agora, para encontrar os traços do plano α, vamos determinar onde ele intercepta os eixos x, y e z.
Traço no eixo x (y = 0, z = 0):
4(0) + 5(0) + 26 = 0 Rightarrow 26 = 0
Isso não tem solução, então o plano não intercepta o eixo x.
Traço no eixo y (x = 0, z = 0):
4y + 5(0) + 26 = 0 Rightarrow 4y = -26 Rightarrow y = -264 = -6,5
Então, intercepto em y: (0; -6,5; 0)
Traço no eixo z (x = 0, y = 0):
4(0) + 5z + 26 = 0 Rightarrow 5z = -26 Rightarrow z = -265 = -5,2
Então, intercepto em z: (0; 0; -5,2)

Resposta

Os traços do plano α são:
  • Não intercepta o eixo x;
  • Intercepta o eixo y no ponto (0; -6,5; 0);
  • Intercepta o eixo z no ponto (0; 0; -5,2).

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