Determine os traços de um plano ( ) que contém uma horizontal (M)(N) e uma frontal , utilizando traços de apenas uma dessas retas. Considere:
(M)
(N)
§ .
Passo 1
Vamos lá! O enunciado pede para determinarmos os traços (interceptações com os eixos) de um plano, chamado de α. Esse plano contém duas retas: a horizontal de M a N e a frontal de N a P. Para resolver isso, vamos precisar entender alguns conceitos de geometria espacial, como a equação de um plano e como encontrar seus traços. Vamos por partes!
Passo 2
Primeiro, precisamos identificar todos os pontos dados. Sabemos as coordenadas de M e P, mas N está incompleta: N = (-5; ?; ?). Como N está nas duas retas que estão no plano α, vamos usar isso para encontrar as coordenadas completas de N.
Passo 3
Considerando que a reta M-N é horizontal, isso significa que seus componentes na direção y e z são constantes. Olhando para M = (-1; -4; -2) e N = (-5; ?; ?), percebemos que as coordenadas y e z de N devem ser iguais às de M para manter a horizontalidade. Então:
Passo 4
Agora temos os três pontos:
M = (-1; -4; -2)
N = (-5; -4; -2)
P = (-2; 1; -6)
Para encontrar a equação do plano α que passa por esses pontos, vamos achar dois vetores diretores no plano e depois calcular o vetor normal.
Passo 5
Vamos calcular os vetores diretores:
Vetor MN = N - M = (-5 - (-1); -4 - (-4); -2 - (-2)) = (-4; 0; 0)
Vetor NP = P - N = (-2 - (-5); 1 - (-4); -6 - (-2)) = (3; 5; -4)
Passo 6
O vetor normal ao plano α é o produto vetorial dos vetores MN e NP:
Calculando:
Podemos simplificar o vetor normal dividindo por -4:
Passo 7
Com o vetor normal e o ponto N = (-5; -4; -2), podemos escrever a equação do plano α:
Simplificando:
Passo 8
Agora, para encontrar os traços do plano α, vamos determinar onde ele intercepta os eixos x, y e z.
Traço no eixo x (y = 0, z = 0):
Isso não tem solução, então o plano não intercepta o eixo x.