O ponto
é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
(a)
(a)
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar o ponto crítico
da função
. Um ponto crítico é onde as derivadas parciais em relação a
e
são iguais a zero. Para determinar o tipo desse ponto crítico (se é um mínimo, máximo ou ponto de sela), vamos usar a análise das derivadas e o cálculo das segundas derivadas.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de
em relação a
e
:
No ponto
, avaliando as derivadas:
Como ambas as derivadas são zero no ponto
, ele é realmente um ponto crítico.
Passo 3
Agora, para determinar o tipo de ponto crítico, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais:
Vamos calcular as segundas derivadas:
No ponto
:
Então, a matriz Hessiana no ponto é:
Passo 4
Para classificar o ponto crítico, olhamos para o determinante da matriz Hessiana, que é dado por:
No nosso caso:
Quando o determinante da Hessiana é zero, o teste não é conclusivo. Isso significa que precisamos analisar a função de outra maneira para determinar o tipo de ponto crítico.
Passo 5
Vamos examinar o comportamento da função ao redor do ponto
. Consideremos valores próximos a zero para
e
:
A função
comporta-se de maneira diferente dependendo dos valores de
:
- Se
, o termo é positivo. - Se
, o termo é negativo.
Independente do valor de
, o sinal de
será determinado pelo termo
. Isso indica que a função pode assumir valores positivos e negativos próximas ao ponto
, sugerindo que não há um mínimo ou máximo local, mas sim um ponto de sela.
Resposta
O ponto crítico
da função
é um ponto de sela.
Exercícios relacionados
Calcule as integrais nos exercícios 7-20.
Calcule a imagem da função
no ponto
.
O ponto
é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
©
©
Classifique os pontos críticos de:
©
©