O ponto (0,0) é um ponto crítico de cada funções seguintes. Que tipo de ponto crítico é?
(a) f(x, y) = x^4 + y^3

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão pede para a gente analisar o ponto crítico (0,0) da função . Um ponto crítico é onde as derivadas parciais em relação a e são iguais a zero. Para determinar o tipo desse ponto crítico (se é um mínimo, máximo ou ponto de sela), vamos usar a análise das derivadas e o cálculo das segundas derivadas.

Passo 2

Primeiro, vamos encontrar as derivadas parciais de em relação a e (0,0):
No ponto (0,0), avaliando as derivadas:
Como ambas as derivadas são zero no ponto , ele é realmente um ponto crítico.

Passo 3

Agora, para determinar o tipo de ponto crítico, usamos a matriz Hessiana, que é a matriz das segundas derivadas parciais:
Vamos calcular as segundas derivadas:
No ponto (0,0):
Então, a matriz Hessiana no ponto é:

Passo 4

Para classificar o ponto crítico, olhamos para o determinante da matriz Hessiana, que é dado por:
No nosso caso:
Quando o determinante da Hessiana é zero, o teste não é conclusivo. Isso significa que precisamos analisar a função de outra maneira para determinar o tipo de ponto crítico.

Passo 5

Vamos examinar o comportamento da função ao redor do ponto (0,0). Consideremos valores próximos a zero para (0,0) e :
A função comporta-se de maneira diferente dependendo dos valores de :
  • Se , o termo é positivo.
  • Se , o termo é negativo.
Independente do valor de , o sinal de será determinado pelo termo . Isso indica que a função pode assumir valores positivos e negativos próximas ao ponto , sugerindo que não há um mínimo ou máximo local, mas sim um ponto de sela.

Resposta

O ponto crítico (0,0) da função é um ponto de sela.

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