Calcule as integrais nos exercícios 7-20.
integral0^1 integral0^pi integral0^pi y sen z d x d y d z

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa integral tripla juntos! A questão pede para calcular a integral . Vamos usar conhecimentos de cálculo de integrais múltiplas, especificamente integrais triplas. Precisamos entender como integrar passo a passo em relação a , e .

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a integração em relação a integral0^pi y sin z , dx = y sin z cdot (pi - 0) = pi y sin z . Observamos que a função que estamos integrando, , não depende de . Isso facilita as coisas porque integrar uma função constante em relação a é só multiplicar essa função pelo intervalo de integração de .
Então, a integral em relação a fica:

Passo 3

Agora, substituímos o resultado da primeira integração na integral dupla restante:
integral0^1 integral0^pi pi y sin z , dy , dz
Podemos fatorar a constante pi integral0^1 integral0^pi y sin z , dy , dz para fora da integral:

Passo 4

Vamos agora integrar em relação a integral0^1 y , dy = [ y^22 ]0^1 = 1^22 - 0^22 = 12 . A integral de pi cdot 12 integral0^pi sin z , dz = pi2 integral0^pi sin z , dz em relação a é:
Então, substituímos esse resultado:

Passo 5

Por fim, vamos integrar em relação a integral0^pi sin z , dz = [ -cos z ]0^pi = (-cos pi) - (-cos 0) = (-(-1)) - (-1) = 1 + 1 = 2 . A integral de pi2 cdot 2 = pi em relação a é:
Substituindo na expressão:

Resposta

O valor da integral é .

Exercícios relacionados