O ponto é coplanar com os pontos ? Em caso negativo, determine o volume do tetraedro .
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o ponto está no mesmo plano que os pontos , e . Se não estiver, temos que calcular o volume do tetraedro formado por esses quatro pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e o produto misto. Precisaremos saber as coordenadas dos pontos , e para seguir adiante.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa que quatro pontos estão coplanares. Quatro pontos estão coplanares se todos eles estiverem no mesmo plano. Matematicamente, isso acontece se o volume do tetraedro formado por eles for zero.
Passo 3
Para calcular o volume do tetraedro , usamos a fórmula do volume em termos do produto misto dos vetores formados pelos pontos:
Onde:
é o vetor de para ,
é o vetor de para ,
é o vetor de para ,
representa o produto vetorial,
representa o produto escalar.
Passo 4
Vamos calcular os vetores necessários. Suponha que as coordenadas dos pontos sejam:
AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) ,
AC = (xC - xA, yC - yA, zC - zA) ,
AD = (1 - xA, -1 - yA, 0 - zA) ,
.
Os vetores ficam:
Passo 5
Em seguida, calculamos o produto vetorial u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:
Passo 6
Depois de obter AB cdot (AC times AD) = ABx cdot (ACy cdot ADz - ACz cdot ADy) + ABy cdot (ACz cdot ADx - ACx cdot ADz) + ABz cdot (ACx cdot ADy - ACy cdot ADx) , fazemos o produto escalar com :
Passo 7
Finalmente, calculamos o volume:
V = 16 | AB cdot (AC times AD) |
Se , então os pontos são coplanares. Caso contrário, esse valor será o volume do tetraedro .
Resposta
Para determinar se o ponto V = 16 | AB cdot (AC times AD) | está coplanar com os pontos , e , calculamos o volume do tetraedro usando a fórmula do produto misto. Se o volume for zero, os pontos são coplanares. Caso contrário, o volume do tetraedro é dado por:
Substituindo os vetores com as coordenadas dos pontos fornecidos, obtemos o valor final do volume.