O ponto D=(1,-1,0) é coplanar com os pontos A, B, C ? Em caso negativo, determine o volume do tetraedro A B C D.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pergunta se o ponto está no mesmo plano que os pontos , e . Se não estiver, temos que calcular o volume do tetraedro formado por esses quatro pontos. Para resolver isso, vamos usar conceitos de geometria analítica, como vetores e o produto misto. Precisaremos saber as coordenadas dos pontos , e para seguir adiante.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa que quatro pontos estão coplanares. Quatro pontos estão coplanares se todos eles estiverem no mesmo plano. Matematicamente, isso acontece se o volume do tetraedro formado por eles for zero.

Passo 3

Para calcular o volume do tetraedro V = 16 | AB cdot (AC times AD) | , usamos a fórmula do volume em termos do produto misto dos vetores formados pelos pontos:
Onde:
  • é o vetor de para ,
  • é o vetor de para ,
  • é o vetor de para ,
  • representa o produto vetorial,
  • representa o produto escalar.

Passo 4

Vamos calcular os vetores necessários. Suponha que as coordenadas dos pontos sejam:
  • AB = (xB - xA, yB - yA, zB - zA) ,
  • AC = (xC - xA, yC - yA, zC - zA) ,
  • AD = (1 - xA, -1 - yA, 0 - zA) ,
  • .
Os vetores ficam:

Passo 5

Em seguida, calculamos o produto vetorial u times v = (u2v3 - u3v2, u3v1 - u1v3, u1v2 - u2v1) . O produto vetorial entre dois vetores e é dado por:

Passo 6

Depois de obter AB cdot (AC times AD) = ABx cdot (ACy cdot ADz - ACz cdot ADy) + ABy cdot (ACz cdot ADx - ACx cdot ADz) + ABz cdot (ACx cdot ADy - ACy cdot ADx) , fazemos o produto escalar com :

Passo 7

Finalmente, calculamos o volume:
V = 16 | AB cdot (AC times AD) |
Se , então os pontos são coplanares. Caso contrário, esse valor será o volume do tetraedro .

Resposta

Para determinar se o ponto V = 16 | AB cdot (AC times AD) | está coplanar com os pontos , e , calculamos o volume do tetraedro usando a fórmula do produto misto. Se o volume for zero, os pontos são coplanares. Caso contrário, o volume do tetraedro é dado por:
Substituindo os vetores com as coordenadas dos pontos fornecidos, obtemos o valor final do volume.

Exercícios relacionados