Se , o que acontece com os vetores e ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, e , e sabemos que o produto escalar entre eles é positivo, ou seja, . A pergunta quer saber o que acontece com a projeção de na direção de , representada por , em relação ao vetor . Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto escalar e projeção de um vetor em outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o produto escalar ser positivo. O produto escalar entre dois vetores e é dado por:
onde e são as magnitudes dos vetores e é o ângulo entre eles. Se , isso significa que o cosseno do ângulo entre eles é positivo, ou seja, . Portanto, os vetores apontam em direções mais ou menos similares.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor em outro. A projeção de na direção de é dada por:
Isso basicamente nos dá um vetor que está na mesma direção de , mas com magnitude ajustada conforme a contribuição de nessa direção.

Passo 4

Vamos analisar a expressão da projeção. Como e é sempre positiva (já que é o quadrado da magnitude), o coeficiente será positivo. Isso significa que está na mesma direção de .

Passo 5

Portanto, concluímos que quando , a projeção de na direção de , ou seja, , aponta na mesma direção que . Isso significa que a projeção não só está alinhada com , mas também está na direção positiva de .

Resposta

Quando , a projeção está na mesma direção que .

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Se , o que acontece com os vetores e ?