Se u cdot v>0, o que acontece com os vetores Projv u e v ?

Passo 1

Vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos dois vetores, u e v, e sabemos que o produto escalar entre eles é positivo, ou seja, u cdot v > 0. A pergunta quer saber o que acontece com a projeção de u na direção de v, representada por Projv u, em relação ao vetor v. Para resolver isso, vamos precisar entender o que é produto escalar e projeção de um vetor em outro.

Passo 2

Primeiro, vamos relembrar o que significa o produto escalar ser positivo. O produto escalar entre dois vetores u e v é dado por:
u cdot v = |u| |v| cos(theta)
onde |u| e |v| são as magnitudes dos vetores e theta é o ângulo entre eles. Se u cdot v > 0, isso significa que o cosseno do ângulo entre eles é positivo, ou seja, -90^circ < theta < 90^circ. Portanto, os vetores apontam em direções mais ou menos similares.

Passo 3

Agora, vamos lembrar o que é a projeção de um vetor em outro. A projeção de u na direção de v é dada por:
Projv u = ( u cdot v|v|^2 ) v
Isso basicamente nos dá um vetor que está na mesma direção de v, mas com magnitude ajustada conforme a contribuição de u nessa direção.

Passo 4

Vamos analisar a expressão da projeção. Como u cdot v > 0 e |v|^2 é sempre positiva (já que é o quadrado da magnitude), o coeficiente u cdot v|v|^2 será positivo. Isso significa que Projv u está na mesma direção de v.

Passo 5

Portanto, concluímos que quando u cdot v > 0, a projeção de u na direção de v, ou seja, Projv u, aponta na mesma direção que v. Isso significa que a projeção não só está alinhada com v, mas também está na direção positiva de v.

Resposta

Quando u cdot v > 0, a projeção Projv u está na mesma direção que v.

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