Discuta a posição relativa entre os pares de retas dados e determine o ponto de interseção caso elas sejam cocorrentes.
e

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem duas retas no espaço 3D e precisa ver como elas se relacionam. Será que elas se cruzam, são paralelas ou nem se encontram? Se elas se cruzarem, temos que encontrar o ponto de interseção. Para isso, vamos usar um pouco de geometria analítica e resolver um sistema de equações.

Passo 2

Primeiro, vamos escrever as equações das retas de forma clara. A primeira reta está parametrizada por :
A segunda reta está parametrizada por :

Passo 3

Para encontrar onde as retas se cruzam, precisamos que exista um ponto que satisfaça as equações de ambas as retas. Ou seja, precisamos igualar as coordenadas , e das duas retas e encontrar valores que resolvam todas as equações simultaneamente.

Passo 4

Vamos usar a equação da reta para expressar em termos de :
Agora, substituímos esse valor de nas equações de :
Agora, igualamos essas expressões com as de :

Passo 5

Vamos resolver a primeira equação para :
Agora, substituímos na segunda equação:
Como , não há solução que satisfaça ambas as equações simultaneamente. Isso significa que as retas não se cruzam.

Passo 6

Como as retas não têm um ponto em comum, elas são retas espaçadas, ou seja, não são paralelas nem se intersectam. Elas estão em diferentes “direções” no espaço 3D.

Resposta

As retas e são retas espaçosas que não se intersectam e não são paralelas; ou seja, são retas espaçadas.

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Desafio (EPCAr-MG) Sejam e dois números reais positivos. As retas e se intersectam no ponto . Se e , então uma equação para a reta , que passa por tem tangente do ângulo agudo formado entre e como coeficiente angular, é
(a)
(b)
©
(d)
Determine o ângulo formado pelas retas.
e .
Em cada item, determine equações paramétricas para a reta que satisfaz às condições dadas.
Passa pelo ponto e é ortogonal ao plano .
O ponto é coplanar com os pontos ? Em caso negativo, determine o volume do tetraedro .