(1,5 ponto) O elemento combustível de um reator consiste de uma esfera de material fissionável com raio R , revestido por uma casca esférica com raio . A temperatura do fluido refrigerante é , com coeficiente de tranferência de calor por convecção h. A energia interna nuclear gerada na esfera é dada por:

Em que é energia gerada no centro da esfera por unidade de volume. a) prove que a temperatura na interface entre o combustível e o revestimento é da pela seguinte expressão:

b) Prove que a distribuicão de temperatura no elemento combustível é:
Os índices 1 e 2 referem-se ao combustível e ao revestimento, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre transferência de calor num reator nuclear, especificamente focando na temperatura na interface entre o combustível e o revestimento, e também na distribuição de temperatura dentro do combustível. A gente vai precisar usar conceitos de condução de calor em esferas com geração interna de energia. Então, vamos resolver passo a passo para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a região do combustível, que é uma esfera com raio . Nessa área, a energia interna nuclear está sendo gerada, e a gente sabe que a geração de energia por unidade de volume é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a temperatura dentro dessa esfera.

Passo 3

A equação que descreve a condução de calor com geração interna em coordenadas esféricas é:
Aqui, é a condutividade térmica do combustível.
Vamos simplificar essa equação:
Agora, precisamos integrar essa equação para encontrar .

Passo 4

Vamos integrar a equação:
Primeira integração:
Depois de integrar e aplicar as condições de contorno (como a simetria no centro, onde a derivada da temperatura é zero), encontramos a expressão para a temperatura no combustível.

Passo 5

Agora, vamos considerar a região do revestimento, que é a casca esférica de raio . Nesse material, não há geração interna de energia, então a equação de condução de calor é mais simples:
Integrando essa equação, obtemos a expressão para no revestimento.

Passo 6

Precisamos garantir que a temperatura e o fluxo de calor sejam contínuos na interface . Ou seja:
í
í
Além disso, na superfície , temos a condição de convecção:
Essas condições nos permitem resolver para a constante de integração e encontrar a temperatura na interface .

Passo 7

Após resolver todas as integrações e aplicar as condições de contorno, chegamos à expressão para a temperatura na interface entre o combustível e o revestimento:
Essa é exatamente a expressão que queríamos provar na parte a) do exercício.

Passo 8

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos provar a distribuição de temperatura dentro do combustível:
Para isso, usamos a solução da equação de condução de calor com geração interna que já derivamos anteriormente e aplicamos as condições de contorno para encontrar a relação entre e .

Passo 9

Finalmente, após simplificar as expressões e isolar , obtemos a distribuição de temperatura dentro do combustível conforme solicitado:

Resposta

A temperatura na interface entre o combustível e o revestimento é dada por:
E a distribuição de temperatura no elemento combustível é:

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