(1,5 ponto) O elemento combustível de um reator consiste de uma esfera de material fissionável com raio R , revestido por uma casca esférica com raio R0. A temperatura do fluido refrigerante é Tinfty, com coeficiente de tranferência de calor por convecção h. A energia interna nuclear gerada na esfera é dada por:
u^prime prime prime(r)=u0^prime prime[1-(rR)^2]
Em que u0^prime prime prime é energia gerada no centro da esfera por unidade de volume. a) prove que a temperatura na interface entre o combustível e o revestimento é da pela seguinte expressão:
TI=215 u0^prime prime R^2k2[1-1R0 / R+k2 / h R(R0 / R)^2]+Tinfty
b) Prove que a distribuicão de temperatura no elemento combustível é:
T(r)1-TIu0^prime prime R^2 / k1=760-(rR)^2[16-120(rR)^2]
Os índices 1 e 2 referem-se ao combustível e ao revestimento, respectivamente.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Você me passou um exercício sobre transferência de calor num reator nuclear, especificamente focando na temperatura na interface entre o combustível e o revestimento, e também na distribuição de temperatura dentro do combustível. A gente vai precisar usar conceitos de condução de calor em esferas com geração interna de energia. Então, vamos resolver passo a passo para entender tudo direitinho.

Passo 2

Primeiro, vamos olhar para a região do combustível, que é uma esfera com raio u'''(r) = u'''[1 - (rR)^2] . Nessa área, a energia interna nuclear está sendo gerada, e a gente sabe que a geração de energia por unidade de volume é dada por:
Nosso objetivo aqui é encontrar a temperatura dentro dessa esfera.

Passo 3

A equação que descreve a condução de calor com geração interna em coordenadas esféricas é:
1r^2 ddr(r^2 k1 dTdr) + u'''(r) = 0
Aqui, d^2 Tdr^2 + 2r dTdr = -u'''k1[1 - (rR)^2] é a condutividade térmica do combustível.
Vamos simplificar essa equação:
Agora, precisamos integrar essa equação para encontrar .

Passo 4

Vamos integrar a equação:
Primeira integração:
dTdr = -u'''k1 ( integral [1 - (rR)^2] r^2 dr ) + C1r^2
Depois de integrar e aplicar as condições de contorno (como a simetria no centro, onde a derivada da temperatura é zero), encontramos a expressão para a temperatura no combustível.

Passo 5

Agora, vamos considerar a região do revestimento, que é a casca esférica de raio 1r^2 ddr(r^2 k2 dTdr) = 0 . Nesse material, não há geração interna de energia, então a equação de condução de calor é mais simples:
Integrando essa equação, obtemos a expressão para no revestimento.

Passo 6

Precisamos garantir que a temperatura e o fluxo de calor sejam contínuos na interface Tcombustível(R) = Trevestimento(R) . Ou seja:
-k1 dTcombustíveldr |r=R = -k2 dTrevestimentodr |r=R í
-k2 dTdr |r=R0 = h (T(R0) - Tinfty) í
Além disso, na superfície , temos a condição de convecção:
Essas condições nos permitem resolver para a constante de integração e encontrar a temperatura na interface .

Passo 7

Após resolver todas as integrações e aplicar as condições de contorno, chegamos à expressão para a temperatura na interface entre o combustível e o revestimento:
TI = 215 u''' R^2k2 [1 - 1R0/R + (k2/h) R(R0/R)^2] + Tinfty
Essa é exatamente a expressão que queríamos provar na parte a) do exercício.

Passo 8

Agora, vamos para a parte b), onde precisamos provar a distribuição de temperatura dentro do combustível:
T(r)1 - TIu''' R^2 / k1 = 760 - (rR)^2 [16 - 120 (rR)^2]
Para isso, usamos a solução da equação de condução de calor com geração interna que já derivamos anteriormente e aplicamos as condições de contorno para encontrar a relação entre e .

Passo 9

Finalmente, após simplificar as expressões e isolar T(r)1 - TIu''' R^2 / k1 = 760 - (rR)^2 [16 - 120 (rR)^2] , obtemos a distribuição de temperatura dentro do combustível conforme solicitado:

Resposta

A temperatura na interface entre o combustível e o revestimento é dada por:
TI = 215 u''' R^2k2 [1 - 1R0/R + (k2/h) R(R0/R)^2] + Tinfty
E a distribuição de temperatura no elemento combustível é:
T(r)1 - TIu''' R^2 / k1 = 760 - (rR)^2 [16 - 120 (rR)^2]

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