(2,5 pontos) Como já foi dito durante as palestras sobre condução de calor, a lei de Fourier tem algumas limitações, a saber: não pode ser aplicada em nanoescala nem na escala quântica. Algumas alterações tem sido sugeridas e uma das mais bem sucessivas é aquela proposta por CATTANEO e VERNOTTE. Neste novo modelo, o fluxo de calor leva em consideração o tempo de relaxação (
),
Usando a equação proveniente do balanço de energia. a) Prove que nova equação de calor tem a seguinte forma:
Em que
. b) Com as informações fornecidas pelo seu professor sobre a equação diferencial de ondas, qual a velocidade da onda de propagação de calor. De acordo com a teoria da relatividade proposta por Albert Einstein, nenhuma informação pode viajar numa velocidade maior que a da Luz. Por que a equação de calor obtida com a Lei de Fourier viola a teoria da relatividade?
Usando a equação proveniente do balanço de energia. a) Prove que nova equação de calor tem a seguinte forma:
Em que
Passo 1
Vamos lá! Temos um exercício sobre condução de calor e as limitações da Lei de Fourier, especialmente em escalas muito pequenas como a nanoescala ou quântica. A gente vai usar a equação modificada proposta por Cattanéo e Vernotte que inclui o tempo de relaxação (
) no fluxo de calor. Precisamos provar uma nova forma da equação do calor e depois discutir a velocidade de propagação do calor e sua relação com a teoria da relatividade de Einstein.
Passo 2
Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, onde precisamos provar que a nova equação de calor é:
Sabemos que a Lei de Fourier modificada é:
Agora, vamos usar a equação de balanço de energia, que geralmente é dada por:
Onde:
-
é a densidade de energia, -
é o fluxo de calor, -
é a taxa de geração de energia.
Assumindo que
, onde
é a massa específica e
é a capacidade térmica, a equação de balanço de energia fica:
Substituindo a expressão de
modificada na equação de balanço:
Vamos desenvolver o termo do divergente:
Agora, reorganizando os termos:
Assumindo que
pode ser substituído pela expressão de fluxo de calor novamente, temos uma equação diferencial de segunda ordem em relação ao tempo.
Após algumas manipulações e introduzindo o parâmetro
, onde
é a difusividade térmica, chegamos à forma desejada da equação de calor:
Passo 3
Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a velocidade da onda de propagação do calor usando a equação diferencial de ondas e discutir por que a equação de Fourier original viola a teoria da relatividade de Einstein.
A equação diferencial de ondas na forma geral é:
Comparando com nossa equação modificada, vemos que o termo
está presente, o que caracteriza uma equação de onda para a temperatura. A velocidade
da onda de propagação do calor é então:
Agora, segundo a teoria da relatividade de Einstein, nenhuma informação pode viajar mais rápido que a velocidade da luz (
). Se a velocidade
calculada for maior que
, isso significa que o calor estaria se propagando mais rápido que a luz, o que é impossível segundo a relatividade. A Lei de Fourier original não considera o tempo de relaxação (
) e, portanto, implica uma propagação instantânea do calor, o que sugere uma velocidade infinita, claramente violando a teoria da relatividade.
Resposta
a) A nova equação de calor é:
b) A velocidade de propagação da onda de calor é
. A equação de Fourier original viola a teoria da relatividade porque implica uma propagação instantânea do calor, sugerindo uma velocidade infinita, o que contraria o princípio de que nenhuma informação pode viajar mais rápido que a luz.
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Durante o fluxo de ar a
sobre a superficie de uma placa mantida uma temperatura constante de
, o perfil de temperatura adimensional dentro da camada de ar sobre a placa está determinado para ser
Onde
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Dado:
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Uma placa plana de
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. Determine o coeficiente médio de transferência de calor por convecção para a placa.
Dados:
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são
e
, respectivamente, em que
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,
e
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temperatura para esse sistema. b) Sabe-se que o perfil de temperatura é linear quando a condutividade térmica é constante. Encontre a localização na parede plana em que ocorre a máxima diferença de temperatura entre os perfis do item a e o linear.
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, com coeficiente de tranferência de calor por convecção h. A energia interna nuclear gerada na esfera é dada por:
Em que é energia gerada no centro da esfera por unidade de volume. a) prove que a temperatura na interface entre o combustível e o revestimento é da pela seguinte expressão:
b) Prove que a distribuicão de temperatura no elemento combustível é:
Em que
b) Prove que a distribuicão de temperatura no elemento combustível é:
Os índices 1 e 2 referem-se ao combustível e ao revestimento, respectivamente.