(2,5 pontos) Como já foi dito durante as palestras sobre condução de calor, a lei de Fourier tem algumas limitações, a saber: não pode ser aplicada em nanoescala nem na escala quântica. Algumas alterações tem sido sugeridas e uma das mais bem sucessivas é aquela proposta por CATTANEO e VERNOTTE. Neste novo modelo, o fluxo de calor leva em consideração o tempo de relaxação ( tau ),
q=-k nabla T-tau partial qpartial t
Usando a equação proveniente do balanço de energia. a) Prove que nova equação de calor tem a seguinte forma:
nabla^2 T-1alpha partial Tpartial t-1u^2 partial^2 Tpartial t^2=-1k(doteg+tau partial dotegpartial t)
Em que u=(alpha / tau)^1 / 2. b) Com as informações fornecidas pelo seu professor sobre a equação diferencial de ondas, qual a velocidade da onda de propagação de calor. De acordo com a teoria da relatividade proposta por Albert Einstein, nenhuma informação pode viajar numa velocidade maior que a da Luz. Por que a equação de calor obtida com a Lei de Fourier viola a teoria da relatividade?

Passo 1

Vamos lá! Temos um exercício sobre condução de calor e as limitações da Lei de Fourier, especialmente em escalas muito pequenas como a nanoescala ou quântica. A gente vai usar a equação modificada proposta por Cattanéo e Vernotte que inclui o tempo de relaxação ( ) no fluxo de calor. Precisamos provar uma nova forma da equação do calor e depois discutir a velocidade de propagação do calor e sua relação com a teoria da relatividade de Einstein.

Passo 2

Primeiro, vamos focar na parte (a) do exercício, onde precisamos provar que a nova equação de calor é:
nabla^2 T - 1alpha partial Tpartial t - 1u^2 partial^2 Tpartial t^2 = -1k(doteg + tau partial dotegpartial t)
Sabemos que a Lei de Fourier modificada é:
q = -k nabla T - tau partial qpartial t
Agora, vamos usar a equação de balanço de energia, que geralmente é dada por:
partial epartial t + nabla cdot q = doteg
Onde:
  • rho cp partial Tpartial t + nabla cdot q = doteg é a densidade de energia,
  • rho cp partial Tpartial t + nabla cdot (-k nabla T - tau partial qpartial t) = doteg é o fluxo de calor,
  • rho cp partial Tpartial t - k nabla^2 T - tau partialpartial t (nabla cdot q) = doteg é a taxa de geração de energia.
Assumindo que -k nabla^2 T + rho cp partial Tpartial t - tau partialpartial t (nabla cdot q) = doteg , onde nabla^2 T - 1alpha partial Tpartial t - 1u^2 partial^2 Tpartial t^2 = -1k(doteg + tau partial dotegpartial t) é a massa específica e é a capacidade térmica, a equação de balanço de energia fica:
Substituindo a expressão de modificada na equação de balanço:
Vamos desenvolver o termo do divergente:
Agora, reorganizando os termos:
Assumindo que pode ser substituído pela expressão de fluxo de calor novamente, temos uma equação diferencial de segunda ordem em relação ao tempo.
Após algumas manipulações e introduzindo o parâmetro , onde é a difusividade térmica, chegamos à forma desejada da equação de calor:

Passo 3

Agora, vamos para a parte (b). Queremos encontrar a velocidade da onda de propagação do calor usando a equação diferencial de ondas e discutir por que a equação de Fourier original viola a teoria da relatividade de Einstein.
A equação diferencial de ondas na forma geral é:
partial^2 Tpartial t^2 = u^2 nabla^2 T
Comparando com nossa equação modificada, vemos que o termo u = raizalphatau está presente, o que caracteriza uma equação de onda para a temperatura. A velocidade da onda de propagação do calor é então:
Agora, segundo a teoria da relatividade de Einstein, nenhuma informação pode viajar mais rápido que a velocidade da luz ( ). Se a velocidade calculada for maior que , isso significa que o calor estaria se propagando mais rápido que a luz, o que é impossível segundo a relatividade. A Lei de Fourier original não considera o tempo de relaxação ( ) e, portanto, implica uma propagação instantânea do calor, o que sugere uma velocidade infinita, claramente violando a teoria da relatividade.

Resposta

a) A nova equação de calor é:
nabla^2 T - 1alpha partial Tpartial t - 1u^2 partial^2 Tpartial t^2 = -1k(doteg + tau partial dotegpartial t)
b) A velocidade de propagação da onda de calor é . A equação de Fourier original viola a teoria da relatividade porque implica uma propagação instantânea do calor, sugerindo uma velocidade infinita, o que contraria o princípio de que nenhuma informação pode viajar mais rápido que a luz.

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