(1,5 pontos) A temperatura das paredes interna e externa de uma superfície de espessura são e , respectivamente, em que . A parede é constituída por um material de condutividade térmica que varia linearmente com a temperatura , e são constantes. a) Determine o perfil de
temperatura para esse sistema. b) Sabe-se que o perfil de temperatura é linear quando a condutividade térmica é constante. Encontre a localização na parede plana em que ocorre a máxima diferença de temperatura entre os perfis do item a e o linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parede de espessura com temperaturas nas faces interna e externa de e respectivamente, onde . A condutividade térmica dessa parede varia linearmente com a temperatura, dada por .
O conteúdo que vamos usar aqui é condução de calor com condutividade térmica variável. Para resolver, vamos precisar das leis de condução de calor e de como lidar com equações diferenciais quando a condutividade depende de .

Passo 2

Vamos começar determinando o perfil de temperatura ao longo da parede.
Primeiro, lembrando do fluxo de calor em condução, que é dado por Fourier:
Como a parede está em regime estacionário, o fluxo de calor é constante. Substituindo pela expressão dada:
Rearranjando para separar as variáveis e :
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar . Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Para determinar , usamos a condição na face interna da parede ( , ):
Então, a equação fica:
Essa é a expressão geral para o perfil de temperatura.

Resposta

A expressão do perfil de temperatura ao longo da parede é:

Exercícios relacionados

(2,5 pontos) Como já foi dito durante as palestras sobre condução de calor, a lei de Fourier tem algumas limitações, a saber: não pode ser aplicada em nanoescala nem na escala quântica. Algumas alterações tem sido sugeridas e uma das mais bem sucessivas é aquela proposta por CATTANEO e VERNOTTE. Neste novo modelo, o fluxo de calor leva em consideração o tempo de relaxação ( ),

Usando a equação proveniente do balanço de energia. a) Prove que nova equação de calor tem a seguinte forma:

Em que . b) Com as informações fornecidas pelo seu professor sobre a equação diferencial de ondas, qual a velocidade da onda de propagação de calor. De acordo com a teoria da relatividade proposta por Albert Einstein, nenhuma informação pode viajar numa velocidade maior que a da Luz. Por que a equação de calor obtida com a Lei de Fourier viola a teoria da relatividade?
Durante o fluxo de ar a sobre a superficie de uma placa mantida uma temperatura constante de , o perfil de temperatura adimensional dentro da camada de ar sobre a placa está determinado para ser
Onde e y é a distância vertical medida a partir da superficie da placa em metros (Figura abaixo). Determine o fluxo de calor na superficie da placa e o coeficiente de transferência de calor por convecção.
Dado:
(1,5 ponto) O elemento combustível de um reator consiste de uma esfera de material fissionável com raio R , revestido por uma casca esférica com raio . A temperatura do fluido refrigerante é , com coeficiente de tranferência de calor por convecção h. A energia interna nuclear gerada na esfera é dada por:

Em que é energia gerada no centro da esfera por unidade de volume. a) prove que a temperatura na interface entre o combustível e o revestimento é da pela seguinte expressão:

b) Prove que a distribuicão de temperatura no elemento combustível é:
Os índices 1 e 2 referem-se ao combustível e ao revestimento, respectivamente.
Água a e escoa por um tubo horizontal com de comprimento. O tubo é fabricado em aço forjado (rugosidade de ) e tem diâmetro interno de 75 mm . A vazão é de . Calcule a perda de carga em metros e a queda de pressão em kPa.