(1,5 pontos) A temperatura das paredes interna e externa de uma superfície de espessura
são
e
, respectivamente, em que
. A parede é constituída por um material de condutividade térmica que varia linearmente com a temperatura
,
e
são constantes. a) Determine o perfil de
temperatura para esse sistema. b) Sabe-se que o perfil de temperatura é linear quando a condutividade térmica é constante. Encontre a localização na parede plana em que ocorre a máxima diferença de temperatura entre os perfis do item a e o linear.
temperatura para esse sistema. b) Sabe-se que o perfil de temperatura é linear quando a condutividade térmica é constante. Encontre a localização na parede plana em que ocorre a máxima diferença de temperatura entre os perfis do item a e o linear.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parede de espessura
com temperaturas nas faces interna e externa de
e
respectivamente, onde
. A condutividade térmica dessa parede varia linearmente com a temperatura, dada por
.
O conteúdo que vamos usar aqui é condução de calor com condutividade térmica variável. Para resolver, vamos precisar das leis de condução de calor e de como lidar com equações diferenciais quando a condutividade depende de
.
Passo 2
Vamos começar determinando o perfil de temperatura
ao longo da parede.
Primeiro, lembrando do fluxo de calor em condução, que é dado por Fourier:
Como a parede está em regime estacionário, o fluxo de calor
é constante. Substituindo
pela expressão dada:
Rearranjando para separar as variáveis
e
:
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar
. Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde
é a constante de integração. Para determinar
, usamos a condição na face interna da parede (
,
):
Então, a equação fica:
Essa é a expressão geral para o perfil de temperatura.
Resposta
A expressão do perfil de temperatura ao longo da parede é: