(1,5 pontos) A temperatura das paredes interna e externa de uma superfície de espessura L são T0 e TL, respectivamente, em que T0>TL. A parede é constituída por um material de condutividade térmica que varia linearmente com a temperatura k=k0(1+beta T), k0 e beta são constantes. a) Determine o perfil de
temperatura para esse sistema. b) Sabe-se que o perfil de temperatura é linear quando a condutividade térmica é constante. Encontre a localização na parede plana em que ocorre a máxima diferença de temperatura entre os perfis do item a e o linear.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A gente tem uma parede de espessura com temperaturas nas faces interna e externa de e respectivamente, onde . A condutividade térmica dessa parede varia linearmente com a temperatura, dada por .
O conteúdo que vamos usar aqui é condução de calor com condutividade térmica variável. Para resolver, vamos precisar das leis de condução de calor e de como lidar com equações diferenciais quando a condutividade depende de .

Passo 2

Vamos começar determinando o perfil de temperatura q = -k dTdx ao longo da parede.
Primeiro, lembrando do fluxo de calor em condução, que é dado por Fourier:
q = -k0(1 + beta T) dTdx
Como a parede está em regime estacionário, o fluxo de calor dTdx = -qk0(1 + beta T) é constante. Substituindo (1 + beta T) dT = -qk0 dx pela expressão dada:
integral (1 + beta T) dT = -qk0 integral dx
Rearranjando para separar as variáveis T + beta T^22 = -qk0 x + C e T0 + beta T0^22 = C :
T + beta T^22 = -qk0 x + T0 + beta T0^22
Agora, vamos integrar essa equação para encontrar . Separando as variáveis:
Integrando ambos os lados:
Isso resulta em:
Onde é a constante de integração. Para determinar , usamos a condição na face interna da parede ( , ):
Então, a equação fica:
Essa é a expressão geral para o perfil de temperatura.

Resposta

A expressão do perfil de temperatura ao longo da parede é:
T(x) = -1 + raiz1 + 2beta ( T0 - qk0 x ) + beta^2 T0^2 beta

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