Em um ponto de um encanamento a velocidade da água é 3,00 m/s e a pressão manométrica é igual a 5,00 × 104 Pa. Calcule a pressão manométrica em um segundo ponto do encanamento, 11,0 m abaixo do primeiro, sabendo que o diâmetro do cano no segundo ponto é igual ao dobro do diâmetro do primeiro.

Passo 1

Beleza, vamos resumir o que a questão está pedindo. Temos um encanamento onde, em um ponto específico, a água está se movendo a uma velocidade de 3,00 m/s e a pressão manométrica nesse ponto é de 5,00 × 10⁴ Pa. Queremos descobrir qual é a pressão manométrica em um segundo ponto desse encanamento, que está 11,0 metros abaixo do primeiro ponto. Além disso, sabemos que o diâmetro do cano no segundo ponto é o dobro do diâmetro no primeiro.
Estamos lidando com Mecânica dos Fluidos, especificamente aplicando a Equação de Bernoulli e a Lei da Continuidade. Para resolver isso, vamos precisar entender como a velocidade do fluido e a pressão interagem em diferentes pontos de um encanamento com mudanças de diâmetro e altura.

Passo 2

Primeiro, vamos usar a Lei da Continuidade, que nos diz que, em um encanamento sem perdas, o produto da área da seção transversal pela velocidade do fluido permanece constante. A fórmula é:
A1 times v1 = A2 times v2
Onde:
  • $ A $ é a área da seção transversal,
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • os subescritos 1 e 2 referem-se aos primeiros e segundos pontos, respectivamente.
Como o diâmetro no segundo ponto é o dobro do primeiro, o raio também é o dobro. A área de um círculo é $ A = \pi r^2 $, então se o raio dobra, a área quadruplica:
A
Agora, aplicando a Lei da Continuidade:
v
Simplificando:
A = pi r^2

Passo 3

Agora, vamos aplicar a Equação de Bernoulli, que relaciona pressão, velocidade e altura em um fluxo de fluido constante. A fórmula é:
p1 + 12 rho v1^2 + rho g h1 = p2 + 12 rho v2^2 + rho g h2
Onde:
  • $ p $ é a pressão,
  • $ \rho $ é a densidade do fluido (água, aproximadamente $ 1000 , kg/m^3 $),
  • $ v $ é a velocidade do fluido,
  • $ g $ é a aceleração da gravidade ($ 9,81 , m/s^2 $),
  • $ h $ é a altura.
Como o segundo ponto está 11,0 metros abaixo do primeiro, temos $ h_2 = h_1 - 11,0 , m $. Podemos simplificar a equação considerando a diferença de altura:
p
Cancela-se $ \rho g h_1 $ dos dois lados:
rho
Queremos encontrar $ p_2 $, então rearranjamos:
1000 , kg/m^3

Passo 4

Vamos substituir os valores conhecidos na equação:
  • $ p_1 = 5,00 \times 10^4 , Pa $
  • $ v_1 = 3,00 , m/s $
  • $ v_2 = 0,75 , m/s $
  • $ \rho = 1000 , kg/m^3 $
  • $ g = 9,81 , m/s^2 $
  • $ h = 11,0 , m $
Substituindo:
p1 = 5,00 times 10^4 , Pa
Calculando cada termo:
v1 = 3,00 , m/s
v2 = 0,75 , m/s
rho = 1000 , kg/m^3
Agora, somando tudo:
g = 9,81 , m/s^2
Primeiro, some $ 5,00 \times 10^4 + 4500 = 54500 $
Depois, $ 54500 - 281 = 54219 $
Finalmente, $ 54219 + 107910 = 162129 , Pa $

Resposta

A pressão manométrica no segundo ponto do encanamento é aproximadamente $ 1,62 \times 10^5 , Pa $.

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