Um fluido, com uma viscosidade mu e uma densidade rho, escoa ascendentemente através de uma tubulação cilíndrica vertical, de raio R e comprimento L. Considerando este sistema, obtenha uma expressão para: (a) perfil de velocidade; (b) velocidade máxima; © velocidade média; (d) vazão mássica; (e) Força cisalhante. Considerações: (i) regime permanente; (ii) escoamento laminar; (iii) mu e rho constantes; (iv) escoamento na direção z.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o escoamento de um fluido em uma tubulação vertical. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente sobre escoamento laminar em tubos. Vamos analisar cada parte do problema passo a passo: perfil de velocidade, velocidade máxima, velocidade média, vazão mássica e força cisalhante.

Passo 2

(a) Perfil de Velocidade
Primeiro, vamos encontrar o perfil de velocidade do fluido no tubo. Como o escoamento é laminar e está em regime permanente, a velocidade do fluido só varia na direção radial ® e é paralela ao eixo do tubo (direção z).
A equação que descreve o equilíbrio entre a força viscosa e a força de pressão é dada pela equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar em tubo:
mu d^2 vzdr^2 + mur d vzdr = dpdz
Onde:
  • é a viscosidade do fluido,
  • é a componente da velocidade na direção z,
  • é o gradiente de pressão na direção z.
Vamos integrar essa equação para encontrar .

Passo 3

Integrando a equação diferencial:
Primeira integração:
mu dvzdr cdot r = dpdz cdot r^22 + C1
Segunda integração:
mu vz = dpdz cdot r^24 + C1 ln r + C2
Aplicando as condições de contorno:
  1. No centro do tubo (r = 0), a velocidade é máxima e finita, então 0 = dpdz cdot R^24mu + C2mu .
  2. Na parede do tubo (r = R), a velocidade é zero, vz(r) = 14mu dpdz (R^2 - r^2) .
Substituindo r = R:
Daí, .
Então, a expressão para fica:

Passo 4

(b) Velocidade Máxima
A velocidade máxima ocorre no centro do tubo (r = 0). Vamos substituir r = 0 na expressão encontrada:
vmáx = 14mu dpdz R^2 á

Passo 5

© Velocidade Média
A velocidade média ( v = 2R^2 integral0^R vz(r) r dr ) pode ser obtida integrando o perfil de velocidade ao longo da área da seção transversal e dividindo pela área total.
v = 2R^2 integral0^R ( 14mu dpdz (R^2 - r^2) ) r dr
Substituindo v = 18mu dpdz R^2 :
Resolvendo a integral:

Passo 6

(d) Vazão Mássica
A vazão mássica ( Q = v cdot A = v cdot pi R^2 ) é dada pelo produto da densidade ( Q = 18mu dpdz R^2 cdot pi R^2 = pi R^48mu dpdz ) pela vazão volumétrica ( dotm = rho Q = pi rho R^48mu dpdz ).
Primeiro, encontramos usando a velocidade média:
Substituindo :
Agora, a vazão mássica:

Passo 7

(e) Força Cisalhante
A força cisalhante ( tau = mu ( dvzdr )r=R ) por unidade de área na parede do tubo pode ser calculada usando a tensão de cisalhamento, que para escoamento laminar é:
dvzdr = -12mu dpdz r
Calculando a derivada de tau = -12mu dpdz R cdot mu = -12 dpdz R em relação a r:
F = tau cdot A = -12 dpdz R cdot 2pi R L = -pi R^2 L dpdz
No r = R:
A força total na parede é:

Resposta

(a) Perfil de velocidade:
vz(r) = 14mu dpdz (R^2 - r^2)
(b) Velocidade máxima:
vmáx = 14mu dpdz R^2 á
© Velocidade média:
v = 18mu dpdz R^2
(d) Vazão mássica:
dotm = pi rho R^48mu dpdz
(e) Força cisalhante:
F = -pi R^2 L dpdz

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