Um fluido, com uma viscosidade
uma densidade
, escoa ascendentemente através de uma tubulação cilíndrica vertical, de raio R e comprimento L. Considerando este sistema, obtenha uma expressão para: (a) perfil de velocidade; (b) velocidade máxima; © velocidade média; (d) vazão mássica; (e) Força cisalhante. Considerações: (i) regime permanente; (ii) escoamento laminar; (iii)
constantes; (iv) escoamento na direção z.
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício sobre o escoamento de um fluido em uma tubulação vertical. A gente vai precisar usar conceitos de mecânica dos fluidos, mais especificamente sobre escoamento laminar em tubos. Vamos analisar cada parte do problema passo a passo: perfil de velocidade, velocidade máxima, velocidade média, vazão mássica e força cisalhante.
Passo 2
(a) Perfil de Velocidade
Primeiro, vamos encontrar o perfil de velocidade do fluido no tubo. Como o escoamento é laminar e está em regime permanente, a velocidade do fluido só varia na direção radial ® e é paralela ao eixo do tubo (direção z).
A equação que descreve o equilíbrio entre a força viscosa e a força de pressão é dada pela equação de Navier-Stokes simplificada para escoamento laminar em tubo:
Onde:
-
é a viscosidade do fluido, -
é a componente da velocidade na direção z, -
é o gradiente de pressão na direção z.
Vamos integrar essa equação para encontrar
.
Passo 3
Integrando a equação diferencial:
Primeira integração:
Segunda integração:
Aplicando as condições de contorno:
- No centro do tubo (r = 0), a velocidade é máxima e finita, então
. - Na parede do tubo (r = R), a velocidade é zero,
.
Substituindo r = R:
Daí,
.
Então, a expressão para
fica:
Passo 4
(b) Velocidade Máxima
A velocidade máxima ocorre no centro do tubo (r = 0). Vamos substituir r = 0 na expressão encontrada:
Passo 5
© Velocidade Média
A velocidade média (
) pode ser obtida integrando o perfil de velocidade ao longo da área da seção transversal e dividindo pela área total.
Substituindo
:
Resolvendo a integral:
Passo 6
(d) Vazão Mássica
A vazão mássica (
) é dada pelo produto da densidade (
) pela vazão volumétrica (
).
Primeiro, encontramos
usando a velocidade média:
Substituindo
:
Agora, a vazão mássica:
Passo 7
(e) Força Cisalhante
A força cisalhante (
) por unidade de área na parede do tubo pode ser calculada usando a tensão de cisalhamento, que para escoamento laminar é:
Calculando a derivada de
em relação a r:
No r = R:
A força total na parede é:
Resposta
(a) Perfil de velocidade:
(b) Velocidade máxima:
© Velocidade média:
(d) Vazão mássica:
(e) Força cisalhante: