(1,5 ponto) Escreva as equações das curvas de nível de
que correspondem aos níveis
e
e represente-as no mesmo plano cartesiano.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem uma função
e precisa encontrar as equações das curvas de nível para os valores
,
e
. Isso envolve entender o que são curvas de nível na matéria de funções de duas variáveis e como representá-las no plano cartesiano.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Curva de nível é o conjunto de pontos
onde a função
assume um valor constante, ou seja,
. Para cada valor de
, temos uma curva diferente.
Passo 3
Vamos começar com o nível
. Substituímos
na equação da função:
Para resolver isso, a gente tira o logaritmo natural dos dois lados:
Como
, a equação fica:
A única solução para essa equação é
e
. Então, para
, a curva de nível é apenas o ponto
.
Passo 4
Agora, vamos para
. Substituímos na equação:
Tirando o logaritmo natural:
Como
, temos:
Essa é a equação de um círculo com raio
centrado na origem.
Passo 5
Por último, vamos para
. Substituímos na função:
Aplicando o logaritmo natural:
Sabendo que
, temos:
Essa também é a equação de um círculo, agora com raio
e centro na origem.
Resposta
As equações das curvas de nível são:
- Para
: (ponto ) - Para
: - Para
:
Essas curvas podem ser representadas no mesmo plano cartesiano como círculos concêntricos com raios
e
e o ponto central na origem.
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Teste a série quanto a convergência ou divergência.
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Plote as seguintes elipses:
(1,0 ponto) Escreva a equação das curvas de nível da função
para os seguintes valores de
e
e represente-as num mesmo plano cartesiano.