(1,5 ponto) Escreva as equações das curvas de nível de f(x, y) = e^(-x^2 - y^2) que correspondem aos níveis z = 1, z = 1/2 e z = 1/3 e represente-as no mesmo plano cartesiano.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem uma função e precisa encontrar as equações das curvas de nível para os valores , e . Isso envolve entender o que são curvas de nível na matéria de funções de duas variáveis e como representá-las no plano cartesiano.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar o que é uma curva de nível. Curva de nível é o conjunto de pontos onde a função assume um valor constante, ou seja, . Para cada valor de , temos uma curva diferente.

Passo 3

Vamos começar com o nível . Substituímos na equação da função:
Para resolver isso, a gente tira o logaritmo natural dos dois lados:
Como , a equação fica:
A única solução para essa equação é e . Então, para , a curva de nível é apenas o ponto .

Passo 4

Agora, vamos para . Substituímos na equação:
Tirando o logaritmo natural:
Como , temos:
Essa é a equação de um círculo com raio centrado na origem.

Passo 5

Por último, vamos para . Substituímos na função:
Aplicando o logaritmo natural:
Sabendo que , temos:
Essa também é a equação de um círculo, agora com raio e centro na origem.

Resposta

As equações das curvas de nível são:
  • Para : (ponto )
  • Para :
  • Para :
Essas curvas podem ser representadas no mesmo plano cartesiano como círculos concêntricos com raios e e o ponto central na origem.

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