Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, e para resolver isso, a gente vai usar o Teste da Razão.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é:
Se , a série converge.
Se ou tende ao infinito, a série diverge.
Se , o teste é inconclusivo.
Passo 3
Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos e :
Agora, calculamos o quociente:
Simplificando os fatoriais:
Então:
Passo 4
Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge.