Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=1^infty 2^n(2 n+1)!

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, e para resolver isso, a gente vai usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é:
limn to infty | an+1an | = L
  • Se , a série converge.
  • Se ou tende ao infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos an = 2^n(2n+1)! e an+1 = 2^n+1(2(n+1)+1)! = 2^n+1(2n+3)! e an+1an = 2^n+1(2n+3)! times (2n+1)!2^n = 2 times (2n+1)!(2n+3)! :
(2n+1)!(2n+3)! = 1(2n+2)(2n+3)
Agora, calculamos o quociente:
an+1an = 2 times 1(2n+2)(2n+3) = 2(2n+2)(2n+3)
Simplificando os fatoriais:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando limn to infty 2(2n+2)(2n+3) = limn to infty 24n^2 + 10n + 6 = 0 tende ao infinito:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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