Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente testar se a série converge ou diverge. A matéria envolvida aqui é o estudo de séries infinitas, e para resolver isso, a gente vai usar o Teste da Razão.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o Teste da Razão. Esse teste nos ajuda a determinar a convergência de uma série observando o limite do quociente entre termos consecutivos. A regra é:
  • Se , a série converge.
  • Se ou tende ao infinito, a série diverge.
  • Se , o teste é inconclusivo.

Passo 3

Vamos aplicar isso à nossa série. Primeiro, identifiquemos e :
Agora, calculamos o quociente:
Simplificando os fatoriais:
Então:

Passo 4

Agora, vamos calcular o limite quando tende ao infinito:
Como , segundo o Teste da Razão, a série converge.

Resposta

A série converge.

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