Teste a série quanto a convergência ou divergência.

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série infinita e queremos descobrir se ela converge (chega a um valor específico) ou diverge (vai para o infinito ou não tem limite definido). Para isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas e o teste da razão, que são ferramentas matemáticas que ajudam a analisar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar de que tipo de série estamos lidando. A série dada é uma série geométrica, que tem a forma geral:
Aqui, é o primeiro termo da série e é a razão comum entre os termos consecutivos.

Passo 3

No nosso caso, a série é . Comparando com a fórmula geral, podemos ver que:
  • (porque quando , temos )

Passo 4

Agora, para uma série geométrica, a regra para a convergência é a seguinte:
  • Se , a série converge e a soma dela é .
  • Se , a série diverge.
Isso significa que precisamos calcular o valor absoluto da razão e verificar se ele é menor que 1.

Passo 5

Vamos calcular :
Como é aproximadamente 3,14, que é maior que 1, temos que .

Passo 6

De acordo com a regra das séries geométricas, já que , a série não converge para um valor finito. Ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

Exercícios relacionados

Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Teste a série quanto a convergência ou divergência.
(1,5 ponto) Escreva as equações das curvas de nível de que correspondem aos níveis e e represente-as no mesmo plano cartesiano.