Teste a série quanto a convergência ou divergência.
Passo 1
Beleza, vamos lá! Temos a série infinita
e queremos descobrir se ela converge (chega a um valor específico) ou diverge (vai para o infinito ou não tem limite definido). Para isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas e o teste da razão, que são ferramentas matemáticas que ajudam a analisar esse tipo de série.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar de que tipo de série estamos lidando. A série dada é uma série geométrica, que tem a forma geral:
Aqui,
é o primeiro termo da série e
é a razão comum entre os termos consecutivos.
Passo 3
No nosso caso, a série é
. Comparando com a fórmula geral, podemos ver que:
-
(porque quando , temos ) -
Passo 4
Agora, para uma série geométrica, a regra para a convergência é a seguinte:
- Se
, a série converge e a soma dela é . - Se
, a série diverge.
Isso significa que precisamos calcular o valor absoluto da razão
e verificar se ele é menor que 1.
Passo 5
Vamos calcular
:
Como
é aproximadamente 3,14, que é maior que 1, temos que
.
Passo 6
De acordo com a regra das séries geométricas, já que
, a série não converge para um valor finito. Ou seja, ela diverge.
Resposta
A série
diverge.
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(1,5 ponto) Escreva as equações das curvas de nível de
que correspondem aos níveis
e
e represente-as no mesmo plano cartesiano.