Teste a série quanto a convergência ou divergência. sumn=0^infty(-pi)^n

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos a série infinita e queremos descobrir se ela converge (chega a um valor específico) ou diverge (vai para o infinito ou não tem limite definido). Para isso, vamos usar os conceitos de séries geométricas e o teste da razão, que são ferramentas matemáticas que ajudam a analisar esse tipo de série.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar de que tipo de série estamos lidando. A série dada é uma série geométrica, que tem a forma geral:
sumn=0^infty ar^n
Aqui, é o primeiro termo da série e é a razão comum entre os termos consecutivos.

Passo 3

No nosso caso, a série é . Comparando com a fórmula geral, podemos ver que:
  • (porque quando , temos )

Passo 4

Agora, para uma série geométrica, a regra para a convergência é a seguinte:
  • Se , a série converge e a soma dela é .
  • Se , a série diverge.
Isso significa que precisamos calcular o valor absoluto da razão e verificar se ele é menor que 1.

Passo 5

Vamos calcular |r| = |-π| = π approx 3,1416 :
Como é aproximadamente 3,14, que é maior que 1, temos que .

Passo 6

De acordo com a regra das séries geométricas, já que , a série não converge para um valor finito. Ou seja, ela diverge.

Resposta

A série diverge.

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