Um ponto material móvel P(-2 + t, 4t/3 + 2) desloca-se no plano suas coordenadas variam em função do tempo t (t ≥0). A distância percorrida pelo ponto material móvel entre o ponto A para t = 0 e o ponto B para t = 6, é:

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse problema juntos! A gente tem um ponto P que se move no plano com as coordenadas dadas por $ P(-2 + t, \frac{4t}{3} + 2) $, onde $ t $ é o tempo a partir de 0. Nosso objetivo é descobrir qual a distância que esse ponto percorre entre o tempo $ t = 0 $ (ponto A) e $ t = 6 $ (ponto B). Para isso, vamos precisar usar cálculo, especificamente o conceito de comprimento de trajetória de curvas parametrizadas.

Passo 2

Primeiro, vamos entender a trajetória do ponto P. As coordenadas de P são funções do tempo:
x(t) = -2 + t
y(t) = 4t3 + 2
Isso significa que, conforme o tempo $ t $ muda, o ponto P se move no plano seguindo essas equações.

Passo 3

Para encontrar a distância percorrida, precisamos calcular o comprimento dessa trajetória entre $ t = 0 $ e $ t = 6 $. No cálculo, isso é feito integrando a velocidade do ponto ao longo do tempo.

Passo 4

A fórmula para o comprimento da trajetória $ S $ de uma curva parametrizada por $ x(t) $ e $ y(t) $ é:
S
Aqui, $ a $ e $ b $ são os valores iniciais e finais do tempo. No nosso caso, $ a = 0 $ e $ b = 6 $.

Passo 5

Vamos calcular as derivadas de $ x(t) $ e $ y(t) $ em relação a $ t $:
x(t)
y(t)

Passo 6

Substituindo essas derivadas na fórmula do comprimento da trajetória, temos:
S = integral0^6 raiz(1)^2 + (43)^2 , dt = integral0^6 raiz1 + 169 , dt
Simplificando dentro da raiz:
raiz1 + 169 = raiz99 + 169 = raiz259 = 53
Então, a integral fica:
S = integral0^6 53 , dt

Passo 7

Agora, basta integrar:
S = 53 times (6 - 0) = 53 times 6 = 10

Resposta

A distância percorrida pelo ponto material entre o ponto A e o ponto B é 10 unidades.

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