Um jardineiro cultiva plantas ornamentais e as coloca à venda quando estas atingem 30 centímetros de altura. Esse jardineiro estudou o crescimento de suas plantas, em função do tempo, e deduziu uma fórmula que calcula a altura em função do tempo, a partir do momento em que a planta brota do solo até o momento em que ela atinge sua altura máxima de 40 centímetros. A fórmula é h = 5.log (t+1). Em t é o tempo contado em dias e h a altura da planta em centímetros. Em quanto tempo, em dias, ela alcançará sua máxima?
Passo 1
Beleza, vamos entender o que o exercício está pedindo. Temos um jardineiro que está monitorando o crescimento das plantas dele. A fórmula que ele descobriu para calcular a altura das plantas em função do tempo é $ h = 5 \cdot \log(t + 1) $, onde $ h $ é a altura em centímetros e $ t $ é o tempo em dias. O objetivo é descobrir em quantos dias a planta vai alcançar a altura máxima de 40 centímetros. Vamos usar conceitos de funções logarítmicas para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar os valores que já conhecemos:
- Altura máxima da planta: $ h = 40 $ cm
- Fórmula do crescimento: $ h = 5 \cdot \log(t + 1) $
Queremos encontrar o valor de $ t $ quando $ h = 40 $ cm. Vamos substituir esses valores na fórmula:
Passo 3
Agora, vamos resolver essa equação para encontrar $ t $. Primeiro, dividimos ambos os lados por 5 para isolar o logaritmo:
Passo 4
A equação agora é $ 8 = \log(t + 1) $. Para resolver para $ t + 1 $, precisamos “desfazer” o logaritmo. Sabemos que se $ \log_b(a) = c $, então $ a = b^c $. Aqui, estamos assumindo que o logaritmo é de base 10 (logaritmo comum).
Passo 5
Finalmente, subtraímos 1 de ambos os lados para encontrar $ t $:
Resposta
A planta alcançará sua altura máxima de 40 centímetros em 99.999.999 dias.