Um ponto material obedece a função horária: s=-30+5t+5t². Determine:
a) o instante em que o móvel passa pela origem
b) a função horária da velocidade
c) o instante em que o móvel muda de sentido

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um ponto material que está se movendo de acordo com a função horária $ s(t) = -30 + 5t + 5t^2 $. Isso faz parte da matéria de Cinemática, que estuda o movimento dos objetos. Para resolver as questões, vamos precisar usar equações do movimento e entender conceitos como posição, velocidade e mudança de direção.

Passo 2

a) Determinar o instante em que o móvel passa pela origem
Primeiro, precisamos encontrar o momento em que o ponto está na origem, ou seja, quando a posição $ s(t) $ é igual a zero.
Temos:
s(t)
Isso é uma equação quadrática na forma:
s(t) = -30 + 5t + 5t^2 = 0
Vamos simplificar dividindo todos os termos por 5:
5t^2 + 5t - 30 = 0
Para resolver essa equação quadrática, usamos a fórmula de Bhaskara:
t^2 + t - 6 = 0
Aqui, $ a = 1 $, $ b = 1 $ e $ c = -6 $.
Calculando o discriminante:
t = -b pm raizb^2 - 4ac2a
Agora, aplicando na fórmula:
a = 1
Isso nos dá duas soluções:
b = 1
c = -6
Como tempo não pode ser negativo, descartamos $ t_2 = -3 $. Então, o ponto passa pela origem no instante $ t = 2 $ segundos.

Passo 3

b) Determinar a função horária da velocidade
A velocidade é a derivada da função posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar $ s(t) $ para encontrar $ v(t) $.
Dada:
s(t)
Derivando termo a termo:
v(t)
Então, a função horária da velocidade é:
s(t) = -30 + 5t + 5t^2

Passo 4

c) Determinar o instante em que o móvel muda de sentido
Mudar de sentido significa que a velocidade muda de sinal, ou seja, passa de positiva para negativa ou vice-versa. Para encontrar isso, vamos ver quando $ v(t) = 0 $.
Temos:
v(t) = 0
Resolvendo para $ t $:
v(t) = 5 + 10t = 0
t
No entanto, tempo negativo não faz sentido no contexto físico, então na realidade, o móvel não muda de sentido no intervalo considerado $ t \geq 0 $. Ou seja, com base na função dada, o móvel não muda de direção após $ t = 0 $.

Resposta

a) O móvel passa pela origem no instante $ t = 2 $ segundos.
b) A função horária da velocidade é $ v(t) = 5 + 10t $.
c) O móvel não muda de sentido no intervalo considerado $ t \geq 0 $.

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