(a) (1 ponto) Mostre que
. Em seguida, determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de
, bem como os seus pontos de máximo local e de mínimo local.
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a derivada de uma função
é
. Depois disso, precisamos descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo e identificar os pontos de máximo e mínimo local. Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de sinais.
Passo 2
Primeiro, vamos confirmar que
. Supondo que a função
seja diferenciável, aplicamos as regras de derivação para encontrar
. Embora o enunciado já forneça a derivada, é sempre bom revisar o processo de derivação para entender como chegamos lá.
Passo 3
Agora, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função
. Para isso, observamos o sinal de
:
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Para determinar onde
é positiva ou negativa, montamos a tabela de sinais considerando os zeros do numerador e denominador:
- Zeros do numerador:
e - Zeros do denominador:
(ponto onde a derivada não está definida)
Dividimos a reta numérica nesses pontos:
,
, e
. Analisamos o sinal de
em cada intervalo.
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é positivo - Resultado: positivo
-
-
Para
: -
é negativo -
é negativo -
é positivo - Resultado: positivo
-
-
Para
: -
é positivo -
é negativo -
é positivo - Resultado: negativo
-
-
Para
: -
é positivo -
é positivo -
é positivo - Resultado: positivo
-
Passo 4
Com base na análise de sinais, identificamos:
-
Crescimento: Quando
- Intervalos:
, , e
- Intervalos:
-
Decrescimento: Quando
- Intervalo:
- Intervalo:
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não está definida:
- Onde
: e - Onde
não está definida: (assíntota vertical)
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais, observamos a mudança do sinal da derivada:
-
Em
: - Antes:
(crescendo) - Depois:
(decrescendo) - Interpretação: Ponto de máximo local
- Antes:
-
Em
: - Antes:
(decrescendo) - Depois:
(crescendo) - Interpretação: Ponto de mínimo local
- Antes:
Resposta
A derivada de
é
. A função está crescendo nos intervalos
,
e
, e está decrescendo no intervalo
. Além disso,
apresenta um ponto de máximo local em
e um ponto de mínimo local em
.