(a) (1 ponto) Mostre que f'(x) = (x^2 - 3x + 2) / x^2. Em seguida, determine os intervalos de crescimento e de decrescimento de f, bem como os seus pontos de máximo local e de mínimo local.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O enunciado pede para a gente mostrar que a derivada de uma função é . Depois disso, precisamos descobrir em quais intervalos a função está crescendo ou decrescendo e identificar os pontos de máximo e mínimo local. Para fazer isso, vamos usar conceitos de derivadas e análise de sinais.

Passo 2

Primeiro, vamos confirmar que . Supondo que a função seja diferenciável, aplicamos as regras de derivação para encontrar . Embora o enunciado já forneça a derivada, é sempre bom revisar o processo de derivação para entender como chegamos lá.

Passo 3

Agora, vamos analisar os intervalos de crescimento e decrescimento da função . Para isso, observamos o sinal de :
Vamos simplificar o numerador:
Então:
Para determinar onde é positiva ou negativa, montamos a tabela de sinais considerando os zeros do numerador e denominador:
  • Zeros do numerador: e
  • Zeros do denominador: (ponto onde a derivada não está definida)
Dividimos a reta numérica nesses pontos: , , e . Analisamos o sinal de em cada intervalo.
  1. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • é positivo
    • Resultado: positivo
  2. Para :
    • é negativo
    • é negativo
    • é positivo
    • Resultado: positivo
  3. Para :
    • é positivo
    • é negativo
    • é positivo
    • Resultado: negativo
  4. Para :
    • é positivo
    • é positivo
    • é positivo
    • Resultado: positivo

Passo 4

Com base na análise de sinais, identificamos:
  • Crescimento: Quando
    • Intervalos: , , e
  • Decrescimento: Quando
    • Intervalo:
Agora, vamos encontrar os pontos críticos onde a derivada é zero ou não está definida:
  • Onde : e
  • Onde não está definida: (assíntota vertical)
Para determinar se esses pontos são máximos ou mínimos locais, observamos a mudança do sinal da derivada:
  • Em :
    • Antes: (crescendo)
    • Depois: (decrescendo)
    • Interpretação: Ponto de máximo local
  • Em :
    • Antes: (decrescendo)
    • Depois: (crescendo)
    • Interpretação: Ponto de mínimo local

Resposta

A derivada de é . A função está crescendo nos intervalos , e , e está decrescendo no intervalo . Além disso, apresenta um ponto de máximo local em e um ponto de mínimo local em .

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