(a) (1 ponto) Escreva o custo em função do raio
do cilindro.
Lembre-se:
Área lateral do cilindro
.
Área da circunferência
Volume do cilindro
1
Lembre-se:
Área lateral do cilindro
Área da circunferência
Volume do cilindro
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício pede para a gente escrever o custo em função do raio
de um cilindro. Estamos lidando com geometria aqui, especificamente com cilindros. Para resolver isso, vamos precisar das fórmulas da área lateral, da área da base e do volume do cilindro. Além disso, vamos precisar relacionar o custo com esses elementos geométricos.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar as fórmulas que temos:
- Área lateral do cilindro:
- Área da base do cilindro:
- Volume do cilindro:
Aqui,
é o raio e
é a altura do cilindro.
Passo 3
O custo de fabricar o cilindro geralmente está relacionado à quantidade de material usado, ou seja, à área total da superfície do cilindro. A área total é a soma da área lateral com as duas áreas das bases:
Passo 4
Vamos supor que o custo
seja proporcional à área total
. Assim, podemos escrever:
Aqui,
é uma constante que representa o custo por unidade de área.
Passo 5
Mas queremos o custo em função do raio
apenas. Para isso, precisamos eliminar a altura
. Vamos usar a fórmula do volume
para expressar
em termos de
:
Passo 6
Substituindo
na equação do custo:
Passo 7
Simplificando a expressão:
Essa é a função do custo em termos do raio
.