Determinar onde são crescentes ou decrescentes as funções abaixo
.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem a função
e precisa descobrir onde ela está aumentando (crescente) ou diminuindo (decrescente). Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos multiplicar os termos:
Agora que temos a forma expandida, fica mais fácil trabalhar com ela.
Passo 3
Agora, vamos encontrar a derivada de
, que é
. A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta em relação ao crescimento ou decrescimento.
Passo 4
Com a derivada
, vamos encontrar os pontos onde ela é igual a zero, porque nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo a equação
:
Então, os pontos críticos são
e
.
Passo 5
Agora, vamos analisar o sinal da derivada
em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
- Para
: Escolha um valor, por exemplo, .
Então,
, a função está crescente.
- Para
: Escolha .
Então,
, a função está decrescente.
- Para
: Escolha .
Então,
, a função está crescente.
Resposta
A função
é crescente nos intervalos
e
, e é decrescente no intervalo
.