Determinar onde são crescentes ou decrescentes as funções abaixo
f(x)=(x-1)(x-2)(x-3).

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem a função e precisa descobrir onde ela está aumentando (crescente) ou diminuindo (decrescente). Para isso, vamos usar o conceito de derivada, que nos mostra a taxa de variação da função. Se a derivada for positiva, a função está crescendo; se for negativa, está decrescendo.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a função para facilitar a derivação. Vamos multiplicar os termos:
Agora que temos a forma expandida, fica mais fácil trabalhar com ela.

Passo 3

Agora, vamos encontrar a derivada de , que é . A derivada nos ajuda a entender como a função se comporta em relação ao crescimento ou decrescimento.

Passo 4

Com a derivada , vamos encontrar os pontos onde ela é igual a zero, porque nesses pontos a função pode mudar de crescente para decrescente ou vice-versa.
Resolvendo a equação :
Então, os pontos críticos são e .

Passo 5

Agora, vamos analisar o sinal da derivada em cada intervalo determinado pelos pontos críticos:
  1. Para : Escolha um valor, por exemplo, .
Então, , a função está crescente.
  1. Para : Escolha .
Então, , a função está decrescente.
  1. Para : Escolha .
Então, , a função está crescente.

Resposta

A função é crescente nos intervalos e , e é decrescente no intervalo .

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