Um ponto move-se de acordo com as seguintes equações de movimento:
, onde
, y e z são medidos em metros e +em segundos. Ache:
(a) o vetor velocidade em qualquer instante + ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante + ;
(a) o vetor velocidade em qualquer instante + ;
(b) o vetor aceleração em qualquer instante + ;
Passo 1
Beleza, vamos lá! O exercício fala sobre o movimento de um ponto no espaço, com as posições em x, y e z dadas em função do tempo
. A gente precisa encontrar o vetor velocidade e o vetor aceleração desse ponto em qualquer instante. Para resolver isso, vamos usar cálculo, especificamente derivadas, porque a velocidade é a derivada da posição e a aceleração é a derivada da velocidade.
Passo 2
Primeiro, vamos encontrar o vetor velocidade. A velocidade em cada direção é a derivada da posição em relação ao tempo. Então, vamos derivar
,
e
:
-
-
(aparentemente simplifica para ) -
Passo 3
Vamos derivar cada uma dessas funções:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
:
Passo 4
Agora que temos as componentes da velocidade, podemos escrever o vetor velocidade completo:
Passo 5
Seguimos para o vetor aceleração. A aceleração é a derivada da velocidade em relação ao tempo. Vamos derivar cada componente da velocidade:
-
Derivada de
: -
Derivada de
: -
Derivada de
:
Passo 6
Com essas componentes, o vetor aceleração fica:
Resposta
(a) O vetor velocidade em qualquer instante
é:
(b) O vetor aceleração em qualquer instante
é:
Exercícios relacionados
Dois vetores deslocamento,
e
no
. Determinar o produto
.
Expresse as seguintes medidas na unidade pedida, justificando-as: 2,3 toneladas em quilogramas;
Dados dois vetores
e
, encontre:
(a) O vetor soma , seu módulo, direção e sentido;
(b) O vetor diferença , seu módulo, direção e sentido;
© produto escalar entre esses dois vetores
;
(d) O ângulo entre esses dois vetores;
(e) O produto vetorial entre esses dois vetores .
(a) O vetor soma
(b) O vetor diferença
©
(d) O ângulo entre esses dois vetores;
(e) O produto vetorial entre esses dois vetores
Uma partícula se desloca em um plano
, de tal modo que a sua velocidade é dada por:
. Determine:
(a) vetor aceleração em um instante qualquer;
(b) módulo do vetor aceleração no tempo
;
© vetor aceleração média entre
e
.
(d) tempo em que o componente vertical do vetor aceleração é zero.
(e) vetor posição para o instante
.
(a)
(b)
©
(d)
(e)