O ponto P(3,2,5) está situado na fronteira planar separando a região 1 da região 2 O v +0,48 ay+0,64 az está dirigido da região 1 para a região 2 e é perpendicular à fronteira. dados mur 1=44, mur 2=132 e H1=200 ax-200 ay+100 az A / m. Determine H2.

Passo 1

Beleza, vamos por partes! O exercício nos dá um ponto $ \mathrm{P}(3,2,5) $ que está na fronteira entre duas regiões diferentes em termos de propriedades magnéticas. A gente tem alguns dados importantes:
  • As permeabilidades relativas das regiões: $ \mu_{r1} = 44 $ e $ \mu_{r2} = 132 $.
  • O campo magnético $ \mathbf{H}1 = 200 \hat{\mathbf{a}}{x} -200 \hat{\mathbf{a}}{y} +100 \hat{\mathbf{a}}{z} , A/m $ na região 1.
  • Um vetor normal à fronteira que direciona da região 1 para a região 2: $ \mathbf{n} = 0,48 \hat{\mathbf{a}}{y} +0,64 \hat{\mathbf{a}}{z} $.
Queremos descobrir o campo magnético $ \mathbf{H}_2 $ na região 2. Para isso, vamos usar os conceitos de condições de contorno para campos magnéticos nas fronteiras entre dois meios.

Passo 2

Primeiro, vamos entender que nas fronteiras entre dois materiais, certas componentes dos campos magnéticos devem obedecer a condições específicas para garantir que as leis de Maxwell sejam satisfeitas. Aqui, vamos focar na continuidade do componente tangencial do campo $ \mathbf{H} $.
A condição de contorno para o campo magnético $ \mathbf{H} $ diz que a componente tangencial de $ \mathbf{H} $ deve ser contínua através da fronteira. Matemáticamente, isso pode ser representado como:
H
Isso significa que se você decompor $ \mathbf{H} $ em componentes paralelas e perpendiculares à superfície, as componentes paralelas devem ser iguais nas duas regiões.

Passo 3

Para aplicar essa condição, precisamos primeiro identificar a direção do vetor normal à superfície. Já sabemos que:
n = 0,48 ay +0,64 az
Vamos garantir que esse vetor esteja normalizado (ou seja, tenha comprimento 1). Calculando o módulo de $ \mathbf{n} $:
n
Então, o vetor normal unitário é:
|n| = raiz0,48^2 + 0,64^2 = raiz0,2304 + 0,4096 = raiz0,64 = 0,8

Passo 4

Agora, vamos decompôr o campo $ \mathbf{H}_1 $ em suas componentes paralela e perpendicular à superfície. A componente perpendicular é dada pelo produto escalar com o vetor normal, e a paralela é o restante.
Primeiro, calculamos a componente perpendicular $ \mathbf{H}_1^{\perp} $:
H1
Calculando o produto escalar:
H1^perp
Então,
H1^perp = (H1 cdot n) n
A componente paralela $ \mathbf{H}_1^{\parallel} $ é então:
H1 cdot n = (200)(0) + (-200)(0,6) + (100)(0,8) = -120 + 80 = -40 , A/m

Passo 5

Segundo a condição de contorno que mencionamos, a componente paralela de $ \mathbf{H} $ é contínua, ou seja:
H
Portanto, a componente paralela de $ \mathbf{H}_2 $ também é:
H1^paral<=l = H2^paral<=l

Passo 6

Agora, precisamos determinar a componente perpendicular de $ \mathbf{H}_2 $. Para isso, usamos a relação entre as permeabilidades relativas das duas regiões.
Sabemos que:
H2
E como a componente normal do campo $ \mathbf{B} $ é contínua através da fronteira, temos:
B = mu H
Onde $ \mu = \mu_r \mu_0 $, mas como estamos trabalhando com permeabilidades relativas, a constante $ \mu_0 $ se cancela.
Então:
B
Substituindo os valores:
mu1 H1^perp = mu2 H2^perp

Passo 7

Finalmente, juntando as componentes paralela e perpendicular, obtemos o campo $ \mathbf{H}_2 $ na região 2:
H2
Simplificando a componente $ z $:
H2 = H2^paral<=l + H2^perp = (200 ax -176 ay +132 az) + (-8 ay - 323 az) = 200 ax -184 ay + (132 - 323) az

Resposta

O campo magnético na região 2 é:
H2 = 200 ax -184 ay +121,33 az , A/m

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