O ponto
está situado na fronteira planar separando a região 1 da região
v
está dirigido da região 1 para a região 2 e é perpendicular à fronteira. dados
e
. Determine
.
Passo 1
Beleza, vamos por partes! O exercício nos dá um ponto $ \mathrm{P}(3,2,5) $ que está na fronteira entre duas regiões diferentes em termos de propriedades magnéticas. A gente tem alguns dados importantes:
- As permeabilidades relativas das regiões: $ \mu_{r1} = 44 $ e $ \mu_{r2} = 132 $.
- O campo magnético $ \mathbf{H}1 = 200 \hat{\mathbf{a}}{x} -200 \hat{\mathbf{a}}{y} +100 \hat{\mathbf{a}}{z} , A/m $ na região 1.
- Um vetor normal à fronteira que direciona da região 1 para a região 2: $ \mathbf{n} = 0,48 \hat{\mathbf{a}}{y} +0,64 \hat{\mathbf{a}}{z} $.
Queremos descobrir o campo magnético $ \mathbf{H}_2 $ na região 2. Para isso, vamos usar os conceitos de condições de contorno para campos magnéticos nas fronteiras entre dois meios.
Passo 2
Primeiro, vamos entender que nas fronteiras entre dois materiais, certas componentes dos campos magnéticos devem obedecer a condições específicas para garantir que as leis de Maxwell sejam satisfeitas. Aqui, vamos focar na continuidade do componente tangencial do campo $ \mathbf{H} $.
A condição de contorno para o campo magnético $ \mathbf{H} $ diz que a componente tangencial de $ \mathbf{H} $ deve ser contínua através da fronteira. Matemáticamente, isso pode ser representado como:
Isso significa que se você decompor $ \mathbf{H} $ em componentes paralelas e perpendiculares à superfície, as componentes paralelas devem ser iguais nas duas regiões.
Passo 3
Para aplicar essa condição, precisamos primeiro identificar a direção do vetor normal à superfície. Já sabemos que:
Vamos garantir que esse vetor esteja normalizado (ou seja, tenha comprimento 1). Calculando o módulo de $ \mathbf{n} $:
Então, o vetor normal unitário é:
Passo 4
Agora, vamos decompôr o campo $ \mathbf{H}_1 $ em suas componentes paralela e perpendicular à superfície. A componente perpendicular é dada pelo produto escalar com o vetor normal, e a paralela é o restante.
Primeiro, calculamos a componente perpendicular $ \mathbf{H}_1^{\perp} $:
Calculando o produto escalar:
Então,
A componente paralela $ \mathbf{H}_1^{\parallel} $ é então:
Passo 5
Segundo a condição de contorno que mencionamos, a componente paralela de $ \mathbf{H} $ é contínua, ou seja:
Portanto, a componente paralela de $ \mathbf{H}_2 $ também é:
Passo 6
Agora, precisamos determinar a componente perpendicular de $ \mathbf{H}_2 $. Para isso, usamos a relação entre as permeabilidades relativas das duas regiões.
Sabemos que:
E como a componente normal do campo $ \mathbf{B} $ é contínua através da fronteira, temos:
Onde $ \mu = \mu_r \mu_0 $, mas como estamos trabalhando com permeabilidades relativas, a constante $ \mu_0 $ se cancela.
Então:
Substituindo os valores:
Passo 7
Finalmente, juntando as componentes paralela e perpendicular, obtemos o campo $ \mathbf{H}_2 $ na região 2:
Simplificando a componente $ z $:
Resposta
O campo magnético na região 2 é: