lim x 2(x^wed>= 2+x-6) /|x-2|=

Passo 1

Vamos resolver o limite limx 2 x^2 + x - 6|x - 2|. Aqui, estamos trabalhando com limites e funções absolutas. Para resolver, vamos precisar fatorar o numerador e entender como a função absoluta afeta o denominador.

Passo 2

Primeiro, vamos fatorar o numerador x^2 + x - 6. Procuramos dois números que multiplicados dão -6 e somados dão 1. Esses números são 3 e -2, então podemos escrever:
x^2 + x - 6 = (x + 3)(x - 2)

Passo 3

Agora substituímos a fatoração no limite:
limx 2 (x + 3)(x - 2)|x - 2|

Passo 4

Perceba que (x - 2) no numerador e |x - 2| no denominador estão relacionados. A função absoluto |x - 2| é igual a:
|x - 2| = x - 2, & se x > 2 2 - x, & se x < 2

Passo 5

Vamos analisar o limite por direita ( x se aproxima de 2 por valores maiores que 2) e por esquerda ( x se aproxima de 2 por valores menores que 2).
Limite pela direita ( x 2^+):
Quando x > 2, |x - 2| = x - 2. Então:
(x + 3)(x - 2)x - 2 = x + 3
Portanto:
limx 2^+ (x + 3) = 5
Limite pela esquerda ( x 2^-):
Quando x < 2, |x - 2| = 2 - x = -(x - 2). Então:
(x + 3)(x - 2)-(x - 2) = -(x + 3) = -x - 3
Portanto:
limx 2^- (-x - 3) = -5

Resposta

Como os limites pela direita e pela esquerda são diferentes ( 5 e -5), o limite limx 2 x^2 + x - 6|x - 2| não existe.

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