- (1,0 ponto) Uma viga de madeira tem um corte transversal de altura
e largura w. A rigider
da viga é diretamente proporcional à suu largura e вo quadrado de sun altura. Quais sह̈๐ is dimensóes da viga mais rigida que pode ser feita a partir de um tronco com de diametro? (Sugestĩo:
em que
é a constante de proporcionalidade.)
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma viga de madeira com altura
e largura
. A rigidez
da viga é diretamente proporcional à largura e ao quadrado da altura, ou seja:
Onde
é uma constante de proporcionalidade. O desafio é descobrir quais devem ser as dimensões
e
da viga para que ela seja a mais rígida possível, considerando que vamos cortar essa viga de um tronco com diâmetro
cm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização, especificamente 最大化 funções sujeitas a restrições (maximizar funções sujeitas a restrições). Neste caso, a restrição vem do diâmetro do tronco, que limita as possíveis combinações de
e
.
Passo 2
Primeiro, precisamos entender a restrição imposta pelo tronco de diâmetro
. Como a seção transversal da viga é retangular (com altura
e largura
), ela precisa caber dentro de um círculo com diâmetro
.
Isso significa que a diagonal do retângulo formado por
e
não pode exceder
. A diagonal
de um retângulo é calculada usando o teorema de Pitágoras:
Como
, temos:
Essa é a nossa restrição para o problema de otimização.
Passo 3
Nosso objetivo é maximizar a rigidez
sob a restrição
.
Para simplificar, podemos remover a constante
já que ela não afeta o ponto de máximo. Então, vamos maximizar:
Usando a restrição
, podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar
:
Passo 4
Substituindo
na expressão de
:
Agora, temos uma função de
que queremos maximizar:
Passo 5
Para encontrar o valor de
que maximiza
, vamos derivar
em relação a
e igualar a zero:
Simplificando:
Então:
Passo 6
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a restrição
:
Portanto:
Resposta
As dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com diâmetro
cm são: