1. (1,0 ponto) Uma viga de madeira tem um corte transversal de altura e largura w. A rigider da viga é diretamente proporcional à suu largura e вo quadrado de sun altura. Quais sह̈๐ is dimensóes da viga mais rigida que pode ser feita a partir de um tronco com de diametro? (Sugestĩo: em que é a constante de proporcionalidade.)

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma viga de madeira com altura e largura . A rigidez da viga é diretamente proporcional à largura e ao quadrado da altura, ou seja:
Onde é uma constante de proporcionalidade. O desafio é descobrir quais devem ser as dimensões e da viga para que ela seja a mais rígida possível, considerando que vamos cortar essa viga de um tronco com diâmetro cm.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de otimização, especificamente 最大化 funções sujeitas a restrições (maximizar funções sujeitas a restrições). Neste caso, a restrição vem do diâmetro do tronco, que limita as possíveis combinações de e .

Passo 2

Primeiro, precisamos entender a restrição imposta pelo tronco de diâmetro . Como a seção transversal da viga é retangular (com altura e largura ), ela precisa caber dentro de um círculo com diâmetro .
Isso significa que a diagonal do retângulo formado por e não pode exceder . A diagonal de um retângulo é calculada usando o teorema de Pitágoras:
Como , temos:
Essa é a nossa restrição para o problema de otimização.

Passo 3

Nosso objetivo é maximizar a rigidez sob a restrição .
Para simplificar, podemos remover a constante já que ela não afeta o ponto de máximo. Então, vamos maximizar:
Usando a restrição , podemos expressar uma variável em termos da outra. Vamos isolar :

Passo 4

Substituindo na expressão de :
Agora, temos uma função de que queremos maximizar:

Passo 5

Para encontrar o valor de que maximiza , vamos derivar em relação a e igualar a zero:
Simplificando:
Então:

Passo 6

Agora que temos , podemos encontrar usando a restrição :
Portanto:

Resposta

As dimensões da viga mais rígida que pode ser feita a partir de um tronco com diâmetro cm são:

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Seja o gráfico de
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