1. (1,0 pouto) Uma página retangular terá de área impressa. Todus as margens têm 2 cm$. Quais deveriam ser as dimensö̀es da página para minimizar a quantidude de papel utilizada?

Passo 1

Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma página retangular com uma área impressa de e todas as margens tem 2 cm de largura. A gente precisa descobrir quais devem ser as dimensões da página inteira para usar a menor quantidade de papel possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria, especificamente de áreas e otimização.

Passo 2

Primeiro, vamos visualizar a página. A área impressa é o espaço central onde o conteúdo fica, e as margens são as bordas ao redor desse espaço. Se chamarmos a largura da área impressa de e a altura de , sabemos que:
Isso é porque a área impressa é .

Passo 3

Agora, vamos pensar nas dimensões totais da página. Como todas as margens têm 2 cm, isso significa que a largura total da página será a largura da área impressa mais 2 margens de 2 cm cada (uma de cada lado). O mesmo vale para a altura. Então:

Passo 4

A quantidade de papel utilizada é a área total da página, que queremos minimizar. A área total é:
Mas lembrando que , podemos expressar em função de :
Substituindo isso na fórmula da área total:

Passo 5

Para simplificar e facilitar a minimização, vamos expandir a expressão:
Agora, dividimos cada termo por :

Passo 6

Agora, temos uma expressão para a área total em função de :
Para encontrar o valor de que minimiza , vamos derivar essa função em relação a e igualar a derivada a zero.

Passo 7

Calculando a derivada de :
Então:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Agora que temos , podemos encontrar usando a relação :

Passo 9

Então, as dimensões da área impressa são aproximadamente de largura e de altura. Agora, vamos calcular as dimensões totais da página adicionando as margens de 2 cm:

Resposta

As dimensões da página para minimizar a quantidade de papel utilizada são aproximadamente de largura e de altura.

Exercícios relacionados

(b) ( 0,5 ponto) Esta funçāo tem pontos de inflexiio? caso contrairio, explique o motivo
(d) (1,0 ponto) Encontre o ponto , que pertence ao graifico de e à reta perpendicular a
  1. (1,0 ponto) Uma viga de madeira tem um corte transversal de altura e largura w. A rigider da viga é diretamente proporcional à suu largura e вo quadrado de sun altura. Quais sह̈๐ is dimensóes da viga mais rigida que pode ser feita a partir de um tronco com de diametro? (Sugestĩo: em que é a constante de proporcionalidade.)
(a) $(0,5 ponto) Encontre o velrtice da função e verifique se coincide com . Caso coincida, mude o valor do seu .