- (1,0 pouto) Uma página retangular terá
de área impressa. Todus as margens têm 2 cm$. Quais deveriam ser as dimensö̀es da página para minimizar a quantidude de papel utilizada?
Passo 1
Beleza, vamos começar entendendo o que a questão está pedindo. Temos uma página retangular com uma área impressa de
e todas as margens tem 2 cm de largura. A gente precisa descobrir quais devem ser as dimensões da página inteira para usar a menor quantidade de papel possível. Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de geometria, especificamente de áreas e otimização.
Passo 2
Primeiro, vamos visualizar a página. A área impressa é o espaço central onde o conteúdo fica, e as margens são as bordas ao redor desse espaço. Se chamarmos a largura da área impressa de
e a altura de
, sabemos que:
Isso é porque a área impressa é
.
Passo 3
Agora, vamos pensar nas dimensões totais da página. Como todas as margens têm 2 cm, isso significa que a largura total da página será a largura da área impressa mais 2 margens de 2 cm cada (uma de cada lado). O mesmo vale para a altura. Então:
Passo 4
A quantidade de papel utilizada é a área total da página, que queremos minimizar. A área total é:
Mas lembrando que
, podemos expressar
em função de
:
Substituindo isso na fórmula da área total:
Passo 5
Para simplificar e facilitar a minimização, vamos expandir a expressão:
Agora, dividimos cada termo por
:
Passo 6
Agora, temos uma expressão para a área total em função de
:
Para encontrar o valor de
que minimiza
, vamos derivar essa função em relação a
e igualar a derivada a zero.
Passo 7
Calculando a derivada de
:
Então:
Igualando a derivada a zero para encontrar o ponto mínimo:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Agora que temos
, podemos encontrar
usando a relação
:
Passo 9
Então, as dimensões da área impressa são aproximadamente
de largura e
de altura. Agora, vamos calcular as dimensões totais da página adicionando as margens de 2 cm:
Resposta
As dimensões da página para minimizar a quantidade de papel utilizada são aproximadamente
de largura e
de altura.
Exercícios relacionados
(b) ( 0,5 ponto) Esta funçāo tem pontos de inflexiio? caso contrairio, explique o motivo
(d) (1,0 ponto) Encontre o ponto
, que pertence ao graifico de
e à reta
perpendicular a
- (1,0 ponto) Uma viga de madeira tem um corte transversal de altura
e largura w. A rigider da viga é diretamente proporcional à suu largura e вo quadrado de sun altura. Quais sह̈๐ is dimensóes da viga mais rigida que pode ser feita a partir de um tronco com de diametro? (Sugestĩo: em que é a constante de proporcionalidade.)
(a) $(0,5 ponto) Encontre o velrtice da função e verifique se coincide com
. Caso coincida, mude o valor do seu
.