( 0,1 pontos)Ache o movimento harmônico resultante de dois movimentos harmônicos simples na mesma direção dados por: x1(t)=cos (omega t+pi / 3) e x2(t)=sin (omega t+pi / 2). Represente graficamente os respectivos vetores girantes.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão pede para encontrar o movimento harmônico resultante de dois movimentos harmônicos simples que acontecem na mesma direção. Estamos lidando com funções trigonométricas que representam esses movimentos, especificamente cosseno e seno. Para resolver isso, vamos precisar usar algumas identidades trigonométricas básicas e entender como somar essas funções.

Passo 2

Primeiro, vamos reescrever as duas funções para facilitar a soma. A segunda função está em termos de seno, mas seria mais fácil trabalhar com duas funções em termos de cosseno. Lembrando que sin(theta) = cos(theta - pi2), podemos transformar x2(t):
x2(t) = sin(omega t + pi2) = cos(omega t + pi2 - pi2) = cos(omega t)

Passo 3

Agora que temos ambas as funções em termos de cosseno, podemos somá-las:
x(t) = x1(t) + x2(t) = cos(omega t + pi3) + cos(omega t)

Passo 4

Para somar essas duas funções de cosseno, usamos a identidade trigonométrica:
cos A + cos B = 2 cos(A + B2) cos(A - B2)
Aplicando essa identidade aos nossos termos:
A = omega t + pi3, B = omega t
Então,
cos(omega t + pi3) + cos(omega t) = 2 cos(2omega t + pi32) cos(pi32)
Simplificando:
= 2 cos(omega t + pi6) cos(pi6)
Sabemos que cos(pi6) = raiz32, então:
= 2 cdot raiz32 cos(omega t + pi6) = raiz3 cos(omega t + pi6)

Resposta

O movimento harmônico resultante é:
x(t) = raiz3 cos(omega t + pi6)

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