(2,0 pontos) (Cinemática vetorial) Um corpo de massa M é lançado com velocidade inicial
formando com a horizontal um ângulo
, em um local onde a aceleração da gravidade é g. Suponha que o vento atue de forma favorável sobre o corpo durante todo o tempo (ajudando a ir mais longe) exercendo uma força
horizontal constante. Considere
como sendo o tempo total de permanência no ar. Nessas condições, calcule o alcance horizontal do corpo em função de M,
e g.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática vetorial onde um corpo de massa
é lançado com uma velocidade inicial
formando um ângulo
com a horizontal. Além disso, tem um vento que empurra o corpo na horizontal com uma força constante
, ajudando ele a ir mais longe. A gravidade está atuando com aceleração
. Nosso objetivo é calcular o alcance horizontal desse corpo, ou seja, até onde ele vai chegar, em função de
,
,
e
. Para resolver isso, vamos precisar dividir o movimento em componentes horizontal e vertical, e aplicar as leis da física para cada uma delas.
Passo 2
Primeiro, vamos separar a velocidade inicial
nas suas componentes horizontal e vertical. Isso ajuda a gente a entender como o corpo vai se mover em cada direção.
A componente horizontal da velocidade é:
E a componente vertical da velocidade é:
Aqui, usamos as funções trigonométricas cosseno e seno para decompor a velocidade no ângulo
.
Passo 3
Agora, vamos descobrir quanto tempo o corpo fica no ar, ou seja, o tempo total de voo
. Para isso, focamos no movimento vertical. A única força atuando na vertical é a gravidade
, que vai desacelerar o corpo até ele parar no ponto mais alto, e depois acelerar na descida.
O tempo de subida é igual ao tempo de descida. O tempo total de voo é, então, o dobro do tempo que leva para o corpo atingir a altura máxima.
Usamos a fórmula:
Isso nos dá o tempo total que o corpo está no ar.
Passo 4
Por último, vamos calcular o alcance horizontal
. Na direção horizontal, temos a velocidade inicial
e uma força constante
que está agindo no sentido do movimento, ou seja, ajudando o corpo a ir mais longe.
Primeiro, encontramos a aceleração horizontal causada pela força
:
Agora, usamos a fórmula do deslocamento na direção horizontal, considerando que a aceleração está atuando:
Substituindo
e
que já calculamos:
Simplificando a expressão:
Resposta
O alcance horizontal
do corpo é dado por: