(2,0 pontos) (Cinemática vetorial) Um corpo de massa M é lançado com velocidade inicial v formando com a horizontal um ângulo theta, em um local onde a aceleração da gravidade é g. Suponha que o vento atue de forma favorável sobre o corpo durante todo o tempo (ajudando a ir mais longe) exercendo uma força F horizontal constante. Considere t como sendo o tempo total de permanência no ar. Nessas condições, calcule o alcance horizontal do corpo em função de M, v, theta e g.

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente tem um problema de cinemática vetorial onde um corpo de massa é lançado com uma velocidade inicial formando um ângulo com a horizontal. Além disso, tem um vento que empurra o corpo na horizontal com uma força constante , ajudando ele a ir mais longe. A gravidade está atuando com aceleração . Nosso objetivo é calcular o alcance horizontal desse corpo, ou seja, até onde ele vai chegar, em função de , , e . Para resolver isso, vamos precisar dividir o movimento em componentes horizontal e vertical, e aplicar as leis da física para cada uma delas.

Passo 2

Primeiro, vamos separar a velocidade inicial vx = v cdot cos(theta) nas suas componentes horizontal e vertical. Isso ajuda a gente a entender como o corpo vai se mover em cada direção.
A componente horizontal da velocidade é:
vy = v cdot sin(theta)
E a componente vertical da velocidade é:
Aqui, usamos as funções trigonométricas cosseno e seno para decompor a velocidade no ângulo .

Passo 3

Agora, vamos descobrir quanto tempo o corpo fica no ar, ou seja, o tempo total de voo t = 2 cdot vyg = 2 cdot v cdot sin(theta)g . Para isso, focamos no movimento vertical. A única força atuando na vertical é a gravidade , que vai desacelerar o corpo até ele parar no ponto mais alto, e depois acelerar na descida.
O tempo de subida é igual ao tempo de descida. O tempo total de voo é, então, o dobro do tempo que leva para o corpo atingir a altura máxima.
Usamos a fórmula:
Isso nos dá o tempo total que o corpo está no ar.

Passo 4

Por último, vamos calcular o alcance horizontal ax = FM . Na direção horizontal, temos a velocidade inicial R = vx cdot t + 12 cdot ax cdot t^2 e uma força constante R = v cdot cos(theta) cdot ( 2 cdot v cdot sin(theta)g ) + 12 cdot FM cdot ( 2 cdot v cdot sin(theta)g )^2 que está agindo no sentido do movimento, ou seja, ajudando o corpo a ir mais longe.
Primeiro, encontramos a aceleração horizontal causada pela força R = 2 cdot v^2 cdot sin(theta) cdot cos(theta)g + 2 cdot F cdot v^2 cdot sin^2(theta)M cdot g^2 :
Agora, usamos a fórmula do deslocamento na direção horizontal, considerando que a aceleração está atuando:
Substituindo e que já calculamos:
Simplificando a expressão:

Resposta

O alcance horizontal R = 2 v^2 sin(theta) cos(theta)g + 2 F v^2 sin^2(theta)M g^2 do corpo é dado por:

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