(2,5 pontos) Considere um bloco sobre uma mesa. Esse bloco é empurrado por uma mola presa à parede, desliza sobre a mesa e cai no chão. O bloco tem massa M. A constante elástica é k e a mola foi comprimida em l. O bloco desliza uma distância d pela mesa, que tem altura h. O coeficiente de atrito cinético entre o bloco e a mesa é mu. (a) Qual a distância d máxima para que o bloco caia da mesa? (b) Que velocidade terá o bloco quando atingir o solo? (Dê suas respostas em termos de M, l, k, d, mu e g.)

Passo 1

Beleza, vamos lá! A questão fala sobre um bloco de massa M que está sobre uma mesa. Esse bloco é empurrado por uma mola com constante elástica k, que está comprimida por um comprimento l. Quando liberada, a mola faz o bloco deslizar uma distância d sobre a mesa, que tem altura h, até ele cair no chão. Além disso, há atrito entre o bloco e a mesa, com coeficiente mu. Vamos usar conceitos de energia, força de atrito e movimento para resolver as duas partes da questão.

Passo 2

Primeiro, vamos resolver a parte (a): Qual a distância d máxima para que o bloco caia da mesa?
Para isso, precisamos entender que a energia armazenada na mola será convertida em trabalho contra atrito e energia cinética do bloco. A distância d máxima ocorre quando toda a energia da mola é usada para vencer o atrito e permitir que o bloco desloque essa distância.
A energia potencial elástica da mola é dada por:
Emola = 12 k l^2
O trabalho realizado pela força de atrito é:
Watrito = mu M g d
Para que o bloco consiga deslizar a distância d, a energia da mola deve ser igual ao trabalho do atrito:
12 k l^2 = mu M g d
Agora, isolando d:
d = 12 k l^2mu M g = k l^22 mu M g

Passo 3

Agora vamos para a parte (b): Que velocidade terá o bloco quando atingir o solo?
Para encontrar a velocidade no momento de atingir o solo, consideramos que a energia da mola é usada para vencer o atrito, dar velocidade ao bloco e também para cair pela altura h.
Primeiro, encontramos a energia remanescente para a velocidade:
Emola = 12 k l^2
O trabalho contra o atrito até a borda da mesa é:
Watrito = mu M g d
A energia cinética do bloco na ponta da mesa será:
Ecinética = Emola - Watrito = 12 k l^2 - mu M g d é
Então, a velocidade v na ponta da mesa é:
v = raiz2 EcinéticaM = raiz2 ( 12 k l^2 - mu M g d )M = raiz k l^2 - 2 mu M g d M é
Agora, ao cair do modo, a velocidade no solo pode ser encontrada usando a cinemática, mas como a velocidade na ponta da mesa já está conhecida, e o bloco cai de uma altura h, aplicamos:
vfinal = raizv^2 + 2 g h
Substituindo v:
vfinal = raiz k l^2 - 2 mu M g d M + 2 g h

Resposta

(a) A distância máxima d para que o bloco caia da mesa é:
d = k l^22 mu M g
(b) A velocidade do bloco ao atingir o solo é:
vfinal = raiz k l^2 - 2 mu M g d M + 2 g h

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