No topo de um plano inclinado de altura h existem dois blocos. A inclinação do plano em relação à horizontal vale theta=45^circ. Um dos blocos é largado no ar, sem velocidade inicial e o tempo da queda livre deste bloco é igual a t. O outro bloco é
largado sobre o plano, também sem velocidade inicial, e leva um tempo igual a 2 t para deslizar até a base do plano. Calcule:
a) a aceleração do bloco que deslizou sobre o plano.
b) o coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos um plano inclinado com um ângulo de 45^circ e dois blocos no topo desse plano. O primeiro bloco é largado no ar e leva um tempo t para cair livremente até a base. O segundo bloco é largado sobre o plano e demora 2t para deslizar até a base. Vamos abordar duas partes:
a) Encontrar a aceleração do bloco que deslizou sobre o plano.
b) Calcular o coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco.
Para resolver isso, vamos precisar usar conceitos de cinemática (movimento com aceleração constante) e dinâmica (forças em planos inclinados com atrito).

Passo 2

Vamos começar com a parte a): encontrar a aceleração do bloco que deslizou sobre o plano.
Primeiro, precisamos relacionar a altura h do plano com o tempo t que o primeiro bloco levou para cair livremente. Usamos a fórmula da queda livre:
h = 12 g t^2
Onde:
  • h é a altura,
  • g é a aceleração da gravidade ( approx 9,8 , m/s^2),
  • t é o tempo de queda.
Agora, vamos descobrir o comprimento do plano inclinado. Sabendo que o ângulo theta é 45^circ, usamos a relação trigonométrica:
sin theta = hL implies L = hsin 45^circ = hraiz22 = h raiz2
Então, o comprimento do plano é L = h raiz2.
Agora, o segundo bloco desliza esse comprimento L partindo do repouso e leva 2t para chegar ao final. Usando a fórmula da distância para movimento com aceleração constante:
L = 12 a (2t)^2 = 2 a t^2
Substituindo L pela expressão que encontramos:
h raiz2 = 2 a t^2
E lembrando que h = 12 g t^2, substituímos:
12 g t^2 raiz2 = 2 a t^2
Podemos cancelar t^2 dos dois lados:
12 g raiz2 = 2 a
Isolando a:
a = g raiz24
Então, a aceleração do bloco é:
a = g raiz24

Passo 3

Agora, vamos para a parte b): calcular o coeficiente de atrito cinético ( mu) entre o plano e o bloco.
Sabemos que a aceleração do bloco no plano inclinado é influenciada pela componente da gravidade ao longo do plano e pelo atrito. A fórmula para a aceleração em um plano inclinado com atrito é:
a = g (sin theta - mu cos theta)
Já sabemos que a = g raiz24 e theta = 45^circ. Substituindo esses valores na equação:
g raiz24 = g ( sin 45^circ - mu cos 45^circ )
Podemos dividir ambos os lados por g (pois g neq 0):
raiz24 = sin 45^circ - mu cos 45^circ
Sabendo que sin 45^circ = cos 45^circ = raiz22, substituímos:
raiz24 = raiz22 - mu cdot raiz22
Vamos isolar mu:
mu cdot raiz22 = raiz22 - raiz24 = raiz24
Multiplicando ambos os lados por 2raiz2 para resolver para mu:
mu = raiz24 cdot 2raiz21 = 12
Portanto, o coeficiente de atrito cinético é:
mu = 0,5

Resposta

a) A aceleração do bloco que deslizou sobre o plano é a = dfracg raiz24.
b) O coeficiente de atrito cinético entre o plano e o bloco é mu = 0,5.

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