(2,0 pontos) Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada nisso! A gente tem uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes, que é assim:
O conteúdo aqui envolve resolver EDOs usando o método dos coeficientes constantes. Vamos precisar entender um pouco sobre equações características e raízes de polinômios para achar a solução dessa equação.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação dividindo todos os termos por (assumindo que ) para deixar a equação mais fácil de trabalhar:

Passo 3

Agora, a gente assume que a solução tem a forma de uma função exponencial, ou seja:
Onde é um número que a gente precisa descobrir.

Passo 4

Vamos derivar para encontrar e :

Passo 5

Substituindo , e na equação simplificada:
Como nunca é zero, podemos dividir todos os termos por :
Essa é a chamada equação característica.

Passo 6

Agora, a gente resolve essa equação quadrática para encontrar os valores de . A fórmula para resolver uma equação do tipo é:
Aqui, , e .

Passo 7

O discriminante vai determinar o tipo de solução que a gente vai ter:
  • Se : duas raízes reais e distintas.
  • Se : duas raízes reais e iguais.
  • Se : duas raízes complexas conjugadas.

Passo 8

Dependendo do valor de , a solução geral da EDO vai ser:
  1. Duas raízes reais e distintas ( ):
  2. Duas raízes reais e iguais ( ):
  3. Raízes complexas ( ): Onde .

Resposta

Pra resumir, o método para encontrar a solução da EDO consiste em assumir uma solução exponencial, encontrar a equação característica, resolver para as raízes e, dependendo delas, escrever a solução geral da equação diferencial.

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Calcule os limites a seguir:
(a)
Calcule os limites a seguir:
(b)
Calcule os limites a seguir:
Obs.: Quando for possível, vocês poderão utilizar o limite fundamental .
(a)