Um observador vê o tôpo de uma torre sob um ângulo de elevação de , com um possível erro de . Se a distância da torre é de 300 m , com um possível erro de 10 cm , use a aproximação e calcule a altura aproximada da torre e seu possível erro.

Passo 1

Beleza, vamos lá! O que a gente tem aqui é um problema de trigonometria. Um observador está olhando para o topo de uma torre com um ângulo de elevação de , mas esse ângulo pode ter um erro de (10 minutos). A distância até a torre é de 300 metros, com um erro possível de 10 centímetros. A gente vai usar a aproximação para calcular a altura aproximada da torre e o erro dessa altura.

Passo 2

Primeiro, vamos calcular a altura da torre usando a função tangente, que relaciona o ângulo de elevação com a altura e a distância. A fórmula é:
Onde:
  • é a altura da torre
  • é a distância até a torre (300 m)
  • é o ângulo de elevação (30°)

Passo 3

Vamos calcular . Sabemos que:

Passo 4

Agora, substituímos os valores na fórmula da altura:
Então, a altura aproximada da torre é de 173.2 metros.

Passo 5

Vamos calcular o erro na altura. Temos dois erros a considerar: o erro no ângulo ( ) e o erro na distância (0.10 m).
Primeiro, usando a aproximação dada:
Onde:
  • é a altura que estamos calculando
  • é a distância (300 m)

Passo 6

Substituindo os valores:

Passo 7

Agora, consideramos também o erro na distância:

Passo 8

Para encontrar o erro total na altura, somamos os erros individuais:

Resposta

A altura aproximada da torre é de metros, com um possível erro de metros.

Exercícios relacionados

Calcule os limites a seguir:
(a)
Um tanque cilíndrico metálico com tampa tem altura de 1.2 m e raio 80 cm em suas dimensões internas. Se a espessura das paredes é de 5 mm , calcular a quantidade aproximada de metal usado na fabricação do tanque.
(2,0 pontos) Considere a EDO homogênea de coeficientes constantes
Descreva o método para encontrar a solução dessa EDO.
Calcule os limites a seguir:
(b)