(2 pontos) Considere a força central atrativa dada por F(r)=-Kr^3, onde K é uma constante positiva.
(b) Determine a energia potencial efetiva da força.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que pede para determinar a energia potencial efetiva de uma força central atrativa. A força dada é $ F® = -\frac{K}{r^{3}} $, onde $ K $ é uma constante positiva. Para chegar na energia potencial efetiva, vamos precisar usar conceitos de mecânica clássica, especificamente ligados a forças centrais e energia em movimentos orbitais.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a energia potencial $ U® $ associada a uma força $ F® $ pode ser encontrada através da relação:
U(r)
Isso significa que para achar $ U® $, precisamos integrar a força em relação à distância $ r $.

Passo 3

Vamos integrar $ F® $ para encontrar $ U® $:
F(r)
Agora, calculamos a integral:
U(r)
Como a constante de integração $ C $ pode ser desprezada na energia potencial absoluta, temos:
U(r) = -integral F(r) , dr = -integral (-Kr^3) dr = integral Kr^3 dr

Passo 4

A energia potencial efetiva $ U_{efetiva}® $ inclui não só a energia potencial da força central, mas também um termo que vem do movimento angular do objeto, que é:
Uefetiva(r)
Aqui, $ L $ é o momento angular e $ m $ é a massa do objeto. Mas como a questão pede apenas a energia potencial efetiva da força, consideramos apenas o termo que vem da força central.

Resposta

A energia potencial efetiva da força é:
Uefetiva(r) = -K2 r^2

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