(2 pontos) Considere a força central atrativa dada por
, onde
é uma constante positiva.
© Discuta os movimentos possíveis da partícula para os casos
e para
.
© Discuta os movimentos possíveis da partícula para os casos
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa questão juntos! A gente tem uma força central atrativa dada por $ F® = -\frac{K}{r^{3}} $, onde $ K $ é uma constante positiva. O que a gente precisa fazer aqui é discutir os possíveis movimentos da partícula dependendo dos valores de $ L^{2} $ em relação a $ mK $. Vamos precisar entender um pouco sobre forças centrais, momento angular e potencial efetivo para resolver isso.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que quando uma partícula se move sob a influência de uma força central, o momento angular $ L $ dela é conservado. Isso significa que a quantidade $ L^{2} $ (o quadrado do momento angular) não muda com o tempo. Além disso, para analisar os movimentos possíveis, usamos o conceito de potencial efetivo, que combina a energia da força central com a energia de rotação da partícula.
O potencial efetivo $ V_{efetivo}® $ é dado por:
onde $ V® $ é o potencial associado à força $ F® $.
Passo 3
Vamos encontrar $ V® $ a partir de $ F® $. Sabemos que $ F® = -\frac{dV}{dr} $, então:
Integrando em relação a $ r $:
Podemos ignorar a constante $ C $ porque ela não afeta a dinâmica, então:
Passo 4
Agora vamos analisar o potencial efetivo para os diferentes casos:
-
Quando $ L^{2} > mK $:Isso significa que o potencial efetivo é positivo e diminui com $ r $. A partícula tem barreira angular, impedindo que ela chegue muito perto do centro. O movimento será, portanto, limitado, podendo ter orbita circular estável ou movimentos oscilatórios.
-
Quando $ L^{2} < mK $:Aqui, o potencial efetivo é negativo e tende a
quando $ r $ tende a zero. Isso indica que não há barreira angular suficiente para impedir que a partícula se aproxime do centro. O movimento pode ser não limitado, com a partícula podendo colapsar no centro ou escapar para o infinito, dependendo das condições iniciais. -
Quando $ L^{2} = mK $:O potencial efetivo é zero para todos os $ r $. Isso é um caso especial onde a força central exatamente compensa a energia de rotação. A partícula pode ter movimento livre sem preferir nenhuma distância específica, podendo se mover em linha reta ou em órbita com raio indefinido.
Resposta
Dependendo de $ L^{2} $ comparado a $ mK $, a partícula pode ter movimentos limitados com órbitas estáveis quando $ L^{2} > mK $, movimentos não limitados podendo colapsar ou escapar quando $ L^{2} < mK $, e movimentos livres sem raio definido quando $ L^{2} = mK $.