(1 ponto) Analise o movimento de uma partícula submetida a força central
e mostre que este sistema não admite uma órbita fechada.
Passo 1
Beleza, vamos lá! A questão pede para analisarmos o movimento de uma partícula submetida a uma força central dada por $ F® = k r $ e mostrar que esse sistema não tem órbitas fechadas. Vamos precisar entender um pouco sobre forças centrais e como elas influenciam o movimento das partículas.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar o que é uma força central. É uma força que atua ao longo da linha que liga a partícula ao ponto central (no caso, a origem) e depende apenas da distância $ r $ entre eles. No nosso caso, a força é $ F® = k r $, onde $ k $ é uma constante.
Passo 3
A segunda coisa que precisamos é usar a segunda lei de Newton para movimentos circulares ou orbitais, que nos diz que $ F = m a $, onde $ m $ é a massa da partícula e $ a $ é a aceleração. Para uma força central, a aceleração será radial, ou seja, na direção de $ r $.
Passo 4
Agora, vamos expressar a força central em termos do potencial. Sabemos que $ F® = -\frac{dV}{dr} $. Então, integrando $ F® = k r $, encontramos o potencial:
Esse é o potencial de um oscilador harmônico.
Passo 5
Sabemos que, para obter as órbitas, precisamos considerar o equilíbrio entre a força centrifugal e a força central. A equação do movimento radial pode ser escrita como:
Onde $ \theta $ é o ângulo polar.
Passo 6
Usando a conservação do momento angular, sabemos que $ L = m r^2 \frac{d\theta}{dt} $ é constante. Podemos reescrever a equação do movimento em termos de $ u = \frac{1}{r} $ e obter uma equação diferencial que descreve a trajetória da partícula.
Passo 7
Após alguma manipulação matemática (que envolve derivar em relação a $ \theta $ e substituir), chegamos a uma equação diferencial da forma:
Essa é uma equação linear de segunda ordem cuja solução geral é:
Onde $ A $ e $ B $ são constantes determinadas pelas condições iniciais.
Passo 8
Para que a órbita seja fechada, a solução para $ u(\theta) $ precisa ser periódica com um período que seja uma fração racional de $ 2\pi $. No entanto, olhando para a solução geral, vemos que a presença dos termos $ \cos(\theta) $ e $ \sin(\theta) $ implica que a partícula não retorna ao mesmo ponto após um período fixo a menos que certas condições específicas sejam atendidas, o que geralmente não acontece a menos que $ k $ e $ L $ satisfazem relações muito particulares.
Passo 9
Como não há garantia de que essas condições sejam satisfeitas para todo valor de $ k $ e $ L $, concluímos que, em geral, o sistema não admite órbitas fechadas.
Resposta
Portanto, mostramos que uma partícula submetida à força central $ F® = k r $ não possui órbitas fechadas de maneira geral.