(2 pontos) Considere a força central atrativa dada por
, onde
é uma constante positiva.
(d) Mostre que a equação diferencial da órbita é dada como:
em que
.
(d) Mostre que a equação diferencial da órbita é dada como:
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de forças centrais atrativas, mais especificamente da força $ F® = -\frac{K}{r^{3}} $, onde $ K $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é mostrar que a equação diferencial da órbita dessa força é:
onde $ \beta^{2} = 1 - \frac{m K}{L^{2}} $. Para chegar até aqui, vamos precisar entender um pouco sobre movimento em campos de força central e como usar coordenadas polares para descrever a trajetória de uma partícula.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar que em um campo de força central, o movimento da partícula é planar, ou seja, tudo acontece em um único plano. Por isso, podemos usar coordenadas polares
para descrever a posição da partícula.
Passo 3
A força central $ F® = -\frac{K}{r^{3}} $ atua radialmente, ou seja, na direção de $ r $. De acordo com a segunda lei de Newton, $ \vec{F} = m \vec{a} $, onde $ m $ é a massa da partícula e $ \vec{a} $ é a aceleração.
Passo 4
Em coordenadas polares, a aceleração
tem componentes radial e angular. A componente radial da aceleração é dada por:
e a componente angular é:
Como a força é central, não há aceleração na direção angular, então $ a_{\theta} = 0 $.
Passo 5
Vamos focar na componente radial da força. Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial:
Passo 6
Agora, lembramos que o momento angular $ L $ é conservado em um campo de força central. O momento angular é dado por:
Como $ L $ é constante, podemos resolver para $ \dot{\theta} $:
Passo 7
Substituindo $ \dot{\theta} = \frac{L}{m r^{2}} $ na equação radial:
Simplificando:
Passo 8
Vamos rearranjar essa equação para isolar $ \ddot{r} $:
Dividindo ambos os lados por $ m $:
Passo 9
Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Definimos $ u = \frac{1}{r} $, o que implica que $ r = \frac{1}{u} $. Queremos expressar a equação em termos de $ u $ e $ \theta $.
Passo 10
Calculando as derivadas de $ u $ em relação ao tempo:
Primeira derivada:
Segunda derivada:
Passo 11
No entanto, como estamos interessados na relação entre $ u $ e $ \theta $, usamos a regra da cadeia para derivar em relação a $ \theta $:
E similarmente para a segunda derivada.
Passo 12
Sabemos que $ \frac{d \theta}{d t} = \dot{\theta} = \frac{L}{m r^{2}} = L u^{2}/m $. Substituindo isso e simplificando as derivadas, obtemos uma relação entre as segundas derivadas de $ u $ em relação a $ \theta $.
Passo 13
Após realizar os cálculos, a equação diferencial da órbita fica:
onde $ \beta^{2} = 1 - \frac{m K}{L^{2}} $. Isso mostra que a segunda derivada de $ \frac{1}{r} $ em relação a $ \theta $, mais $ \beta^{2} $ vezes $ \frac{1}{r} $, é igual a zero, conforme solicitado.
Resposta
Demorou um pouco, mas chegamos lá! A equação diferencial da órbita para a força central $ F® = -\frac{K}{r^{3}} $ é:
onde $ \beta^{2} = 1 - \frac{m K}{L^{2}} $.