(2 pontos) Considere a força central atrativa dada por F(r)=-Kr^3, onde K é uma constante positiva.
(d) Mostre que a equação diferencial da órbita é dada como:
d^2d theta^2(1r)+beta^2(1r)=0
em que beta^2=1-m KL^2.

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão trata de forças centrais atrativas, mais especificamente da força $ F® = -\frac{K}{r^{3}} $, onde $ K $ é uma constante positiva. Nosso objetivo é mostrar que a equação diferencial da órbita dessa força é:
F(r) = -Kr^3
onde $ \beta^{2} = 1 - \frac{m K}{L^{2}} $. Para chegar até aqui, vamos precisar entender um pouco sobre movimento em campos de força central e como usar coordenadas polares para descrever a trajetória de uma partícula.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que em um campo de força central, o movimento da partícula é planar, ou seja, tudo acontece em um único plano. Por isso, podemos usar coordenadas polares (r, theta) para descrever a posição da partícula.

Passo 3

A força central $ F® = -\frac{K}{r^{3}} $ atua radialmente, ou seja, na direção de $ r $. De acordo com a segunda lei de Newton, $ \vec{F} = m \vec{a} $, onde $ m $ é a massa da partícula e $ \vec{a} $ é a aceleração.

Passo 4

Em coordenadas polares, a aceleração a tem componentes radial e angular. A componente radial da aceleração é dada por:
ar = ddotr - r dottheta^2
e a componente angular é:
atheta = r ddottheta + 2 dotr dottheta
Como a força é central, não há aceleração na direção angular, então $ a_{\theta} = 0 $.

Passo 5

Vamos focar na componente radial da força. Aplicando a segunda lei de Newton na direção radial:
F(r) = m ar Rightarrow -Kr^3 = m ( ddotr - r dottheta^2 )

Passo 6

Agora, lembramos que o momento angular $ L $ é conservado em um campo de força central. O momento angular é dado por:
L
Como $ L $ é constante, podemos resolver para $ \dot{\theta} $:
L = m r^2 dottheta

Passo 7

Substituindo $ \dot{\theta} = \frac{L}{m r^{2}} $ na equação radial:
dottheta = Lm r^2
Simplificando:
-Kr^3 = m ddotr - m r ( Lm r^2 )^2

Passo 8

Vamos rearranjar essa equação para isolar $ \ddot{r} $:
ddotr
Dividindo ambos os lados por $ m $:
m ddotr = -Kr^3 + L^2m r^3

Passo 9

Agora, para facilitar a resolução, vamos fazer uma substituição. Definimos $ u = \frac{1}{r} $, o que implica que $ r = \frac{1}{u} $. Queremos expressar a equação em termos de $ u $ e $ \theta $.

Passo 10

Calculando as derivadas de $ u $ em relação ao tempo:
Primeira derivada:
u
Segunda derivada:
dotu = -dotrr^2

Passo 11

No entanto, como estamos interessados na relação entre $ u $ e $ \theta $, usamos a regra da cadeia para derivar em relação a $ \theta $:
u
E similarmente para a segunda derivada.

Passo 12

Sabemos que $ \frac{d \theta}{d t} = \dot{\theta} = \frac{L}{m r^{2}} = L u^{2}/m $. Substituindo isso e simplificando as derivadas, obtemos uma relação entre as segundas derivadas de $ u $ em relação a $ \theta $.

Passo 13

Após realizar os cálculos, a equação diferencial da órbita fica:
d^2ud theta^2 + beta^2 u = 0
onde $ \beta^{2} = 1 - \frac{m K}{L^{2}} $. Isso mostra que a segunda derivada de $ \frac{1}{r} $ em relação a $ \theta $, mais $ \beta^{2} $ vezes $ \frac{1}{r} $, é igual a zero, conforme solicitado.

Resposta

Demorou um pouco, mas chegamos lá! A equação diferencial da órbita para a força central $ F® = -\frac{K}{r^{3}} $ é:
F(r) = -Kr^3
onde $ \beta^{2} = 1 - \frac{m K}{L^{2}} $.

Exercícios relacionados