( 0,1 pontos) Uma corda de massa m e comprimento L é suspensa verticalmente. Como você calcularia o tempo que o pulso leva para viajar nessa corda? Expresse sua resposta em termos dos dados do problema e da gravidade local. Sugestão: considere que a tensão numa porção suspensa da corda a uma distância x da extremidade depende da porção da corda abaixo do ponto considerado.

Passo 1

Vamos resolver um problema de física envolvendo ondas em uma corda. Temos uma corda de massa m e comprimento L suspensa verticalmente. Queremos descobrir quanto tempo um pulso leva para viajar de um extremo ao outro dessa corda. Para isso, vamos usar conceitos de ondas em meios com tensão variável e entender como a gravidade influencia a tensão na corda.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a tensão na corda varia ao longo de seu comprimento. Imagine que estamos olhando para um ponto a uma distância x do extremo inferior da corda. A tensão T(x) nesse ponto não é a mesma em toda a corda porque a parte acima de x está sustentando a massa da corda abaixo desse ponto. A tensão, então, é igual ao peso da porção da corda abaixo de x.
A massa por unidade de comprimento da corda é mu = mL. O peso da porção abaixo de x é mx g = mu x g. Assim, a tensão em x é:
T(x) = mu g x

Passo 3

Sabemos que a velocidade de propagação de uma onda em uma corda é dada por:
v(x) = raizT(x)mu
Substituindo a expressão para T(x):
v(x) = raizmu g xmu = raizg x
Então, a velocidade do pulso depende da posição x na corda.

Passo 4

Para encontrar o tempo total que o pulso leva para percorrer toda a corda, precisamos somar todos os pequenos intervalos de tempo que o pulso leva para passar por cada parte da corda. Matemáticamente, isso é representado por uma integral:
t = integral0^L dxv(x) = integral0^L dxraizg x

Passo 5

Resolvendo a integral:
t = integral0^L dxraizg x = 2raizg raizx gr|0^L = 2raizg raizL - 0 = 2 raizLg

Resposta

O tempo que o pulso leva para viajar na corda é:
t = 2,raizLg

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