( 0,1 pontos) Uma corda de massa e comprimento é suspensa verticalmente. Como você calcularia o tempo que o pulso leva para viajar nessa corda? Expresse sua resposta em termos dos dados do problema e da gravidade local. Sugestão: considere que a tensão numa porção suspensa da corda a uma distância da extremidade depende da porção da corda abaixo do ponto considerado.

Passo 1

Vamos resolver um problema de física envolvendo ondas em uma corda. Temos uma corda de massa e comprimento suspensa verticalmente. Queremos descobrir quanto tempo um pulso leva para viajar de um extremo ao outro dessa corda. Para isso, vamos usar conceitos de ondas em meios com tensão variável e entender como a gravidade influencia a tensão na corda.

Passo 2

Primeiro, precisamos entender como a tensão na corda varia ao longo de seu comprimento. Imagine que estamos olhando para um ponto a uma distância do extremo inferior da corda. A tensão nesse ponto não é a mesma em toda a corda porque a parte acima de está sustentando a massa da corda abaixo desse ponto. A tensão, então, é igual ao peso da porção da corda abaixo de .
A massa por unidade de comprimento da corda é . O peso da porção abaixo de é . Assim, a tensão em é:

Passo 3

Sabemos que a velocidade de propagação de uma onda em uma corda é dada por:
Substituindo a expressão para :
Então, a velocidade do pulso depende da posição na corda.

Passo 4

Para encontrar o tempo total que o pulso leva para percorrer toda a corda, precisamos somar todos os pequenos intervalos de tempo que o pulso leva para passar por cada parte da corda. Matemáticamente, isso é representado por uma integral:

Passo 5

Resolvendo a integral:

Resposta

O tempo que o pulso leva para viajar na corda é:

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