Pontos) Determine se a EDO abaixo é exata, e em seguida resolva ela.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e precisamos primeiro verificar se ela é exata. Depois disso, vamos resolver essa equação. Para isso, vamos precisar saber o que é uma EDO exata e como resolver esse tipo de equação.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a EDO. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que:
Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de em relação a e de em relação a , e ver se elas são iguais.

Passo 3

Vamos calcular essas derivadas:
Agora, comparamos:
Como (a menos que , mas isso não vale para todo o domínio), a equação não é exata.

Passo 4

Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que possa tornar a equação exata. Existem métodos para isso, e um deles é verificar se o fator integrante depende apenas de ou apenas de .
Vamos calcular:
Esse resultado depende tanto de quanto de , então não é útil. Agora, vamos tentar:
Esse resultado depende apenas de , o que significa que o fator integrante será uma função de .

Passo 5

Vamos encontrar o fator integrante :
Agora, multiplicamos toda a EDO por :
Simplificando:
Agora, vamos verificar se essa nova EDO é exata calculando as derivadas parciais novamente:
Como , a EDO agora é exata.

Passo 6

Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial tal que:
Integrando em relação a :
Onde é uma função de que vamos determinar. Para isso, calculamos a derivada de em relação a e igualamos a :
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a :
Onde é a constante de integração.

Passo 7

Agora, substituímos na função potencial :
A solução geral da EDO é dada por:

Resposta

A solução geral da EDO é:
Onde é a constante de integração.

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(2,5 Pontos) Reolva a Equação de Bernoulli.
(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO
pontos Use Variação dos Parâmetros para resolver a E.D.O
Seja
a) Estime