Pontos) Determine se a EDO abaixo é exata, e em seguida resolva ela.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos uma Equação Diferencial Ordinária (EDO) e precisamos primeiro verificar se ela é exata. Depois disso, vamos resolver essa equação. Para isso, vamos precisar saber o que é uma EDO exata e como resolver esse tipo de equação.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar as funções que compõem a EDO. A equação dada é:
Aqui, podemos ver que:
Para verificar se a EDO é exata, precisamos calcular as derivadas parciais de
em relação a
e de
em relação a
, e ver se elas são iguais.
Passo 3
Vamos calcular essas derivadas:
Agora, comparamos:
Como
(a menos que
, mas isso não vale para todo o domínio), a equação não é exata.
Passo 4
Como a EDO não é exata, precisamos encontrar um fator integrante que possa tornar a equação exata. Existem métodos para isso, e um deles é verificar se o fator integrante depende apenas de
ou apenas de
.
Vamos calcular:
Esse resultado depende tanto de
quanto de
, então não é útil. Agora, vamos tentar:
Esse resultado depende apenas de
, o que significa que o fator integrante será uma função de
.
Passo 5
Vamos encontrar o fator integrante
:
Agora, multiplicamos toda a EDO por
:
Simplificando:
Agora, vamos verificar se essa nova EDO é exata calculando as derivadas parciais novamente:
Como
, a EDO agora é exata.
Passo 6
Agora que a equação é exata, podemos encontrar uma função potencial
tal que:
Integrando em relação a
:
Onde
é uma função de
que vamos determinar. Para isso, calculamos a derivada de
em relação a
e igualamos a
:
Comparando os termos, temos:
Integrando em relação a
:
Onde
é a constante de integração.
Passo 7
Agora, substituímos
na função potencial
:
A solução geral da EDO é dada por:
Resposta
A solução geral da EDO é:
Onde
é a constante de integração.
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Seja
a) Estime
a) Estime