(2,5 Pontos) Reolva a Equação de Bernoulli.
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que você trouxe:
. A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma mais simples que possamos resolver passo a passo.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação de Bernoulli. A forma geral de uma equação de Bernoulli é:
Comparando com a nossa equação
, podemos reescrever para ficar na forma padrão:
Aqui, temos
,
e
.
Passo 3
Para resolver uma equação de Bernoulli, usamos uma substituição que simplifica a equação para uma equação diferencial linear. Definimos uma nova variável
da seguinte forma:
Essa substituição vai nos ajudar a eliminar o termo
e tornar a equação mais fácil de resolver.
Passo 4
Agora, vamos derivar
em relação a
:
Essa expressão relaciona
com
, que é o que estamos procurando.
Passo 5
Substituímos
da equação original na expressão para
:
Simplificando os termos:
Como
, podemos substituir:
Passo 6
Agora, note que
, já que
. Substituindo na equação:
Rearranjando:
Essa é uma equação diferencial linear na forma padrão:
onde
e
.
Passo 7
Para resolver a equação linear, usamos o fator integrante
:
Multiplicamos toda a equação pela
:
O lado esquerdo agora é a derivada de
:
Integrando ambos os lados:
Usamos integração por partes para resolver a integral:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por
:
Passo 8
Lembrando que
, isolamos
:
Invertendo ambos os lados:
A constante
pode ser ajustada conforme as condições iniciais, se forem fornecidas.
Resposta
A solução geral da equação é:
onde
é uma constante arbitrária.
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