(2,5 Pontos) Reolva a Equação de Bernoulli.

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa equação de Bernoulli que você trouxe: . A matéria envolvida aqui é equações diferenciais, especificamente a equação de Bernoulli. Para resolver, vamos precisar entender como transformar essa equação em uma forma mais simples que possamos resolver passo a passo.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar que essa é uma equação de Bernoulli. A forma geral de uma equação de Bernoulli é:
Comparando com a nossa equação , podemos reescrever para ficar na forma padrão:
Aqui, temos , e .

Passo 3

Para resolver uma equação de Bernoulli, usamos uma substituição que simplifica a equação para uma equação diferencial linear. Definimos uma nova variável da seguinte forma:
Essa substituição vai nos ajudar a eliminar o termo e tornar a equação mais fácil de resolver.

Passo 4

Agora, vamos derivar em relação a :
Essa expressão relaciona com , que é o que estamos procurando.

Passo 5

Substituímos da equação original na expressão para :
Simplificando os termos:
Como , podemos substituir:

Passo 6

Agora, note que , já que . Substituindo na equação:
Rearranjando:
Essa é uma equação diferencial linear na forma padrão:
onde e .

Passo 7

Para resolver a equação linear, usamos o fator integrante :
Multiplicamos toda a equação pela :
O lado esquerdo agora é a derivada de :
Integrando ambos os lados:
Usamos integração por partes para resolver a integral:
Portanto:
Multiplicando ambos os lados por :

Passo 8

Lembrando que , isolamos :
Invertendo ambos os lados:
A constante pode ser ajustada conforme as condições iniciais, se forem fornecidas.

Resposta

A solução geral da equação é:
onde é uma constante arbitrária.

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