(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO
Passo 1
Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que é . O conteúdo que vamos usar é o método de substituição para simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver. Precisamos identificar uma parte da equação que podemos substituir para facilitar a resolução e, em seguida, integrar para encontrar a solução.
Passo 2
Primeiro, vamos fazer uma substituição estratégica para simplificar a equação. Vamos definir:
Essa substituição vai ajudar a transformar a equação original em uma forma mais simples.
Passo 3
Agora, vamos calcular a derivada de
em relação a
. Usando a regra da cadeia:
Mas sabemos que , então substituímos:
Passo 4
Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis
e
:
Podemos simplificar o denominador fatorando:
Passo 5
Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar
em termos de
:
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica:
Portanto:
Passo 6
Lembrando que
, vamos substituir de volta na equação:
Essa é a solução implícita da EDO.
Resposta
A solução da EDO é dada pela equação implícita:
onde
é a constante de integração.
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Se a tangente no ponto
e na curva
intercepta essa mesma curva em
, seja
a área da região delimitada pela curva e pelo segmento de reta
. Seja
a área da região definida da mesma forma, mas começando com
em vez de
. Qual a relação entre
e
?
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