(2,5 Pontos) Use um método de substituição apropriado para resolver a EDO

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa Equação Diferencial Ordinária (EDO) de primeira ordem que é . O conteúdo que vamos usar é o método de substituição para simplificar a equação e torná-la mais fácil de resolver. Precisamos identificar uma parte da equação que podemos substituir para facilitar a resolução e, em seguida, integrar para encontrar a solução.

Passo 2

Primeiro, vamos fazer uma substituição estratégica para simplificar a equação. Vamos definir:
Essa substituição vai ajudar a transformar a equação original em uma forma mais simples.

Passo 3

Agora, vamos calcular a derivada de em relação a . Usando a regra da cadeia:
Mas sabemos que , então substituímos:

Passo 4

Vamos rearranjar a equação para separar as variáveis e :
Podemos simplificar o denominador fatorando:

Passo 5

Agora, vamos integrar ambos os lados para encontrar em termos de :
A integral do lado esquerdo pode ser resolvida usando uma identidade trigonométrica:
Portanto:

Passo 6

Lembrando que , vamos substituir de volta na equação:
Essa é a solução implícita da EDO.

Resposta

A solução da EDO é dada pela equação implícita:
onde é a constante de integração.

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