pontos Use Variação dos Parâmetros para resolver a E.D.O
Passo 1
Beleza, vamos lá! O enunciado pede para resolver a Equação Diferencial Ordinária (E.D.O) dada por usando o método da Variação dos Parâmetros. Isso significa que vamos encontrar uma solução geral para essa equação, que envolve encontrar uma solução da equação homogênea associada e uma solução particular para a equação completa. Para resolver isso, vamos precisar saber sobre equações diferenciais lineares de segunda ordem, encontrar soluções da equação homogênea e aplicar a variação dos parâmetros para a solução particular.
Passo 2
Primeiro, vamos resolver a equação homogênea associada, que é . Para isso, buscamos soluções da forma . Substituindo na equação homogênea:
Como nunca é zero, temos , ou seja, . Isso nos dá soluções complexas, que podemos escrever usando senos e cossenos:
Passo 3
Agora, vamos encontrar uma solução particular para a equação completa usando a variação dos parâmetros. Primeiro, identificamos as soluções da equação homogênea, que são e .
A fórmula para a solução particular na variação dos parâmetros é:
onde e é o Wronskiano das soluções e .
Passo 4
Vamos calcular o Wronskiano :
[
W =
= \cos^2 x + \sin^2 x = 1
]
Então, .
Passo 5
Agora, substituímos na fórmula da solução particular:
Simplificando as integrais:
Sabemos que e , então:
Passo 6
Calculando as integrais:
Substituindo de volta:
Passo 7
Finalmente, a solução geral da equação diferencial é a soma da solução homogênea com a solução particular: