Um campo de velocidade através de um tubo de Venturi tem a seguinte distribuição:
u=U0(1+xL) ; v=-U0 yL ; w=0
c) Defina a direção e a resultante (valor numérico) de maior aceleração (1,5 pontos).

Passo 1

Beleza, vamos resolver essa questão que fala sobre um campo de velocidade num tubo de Venturi. O que a gente precisa fazer aqui é encontrar a direção e o valor numérico da maior aceleração nesse fluxo. Vamos precisar usar conceitos de cálculo de aceleração em fluidos, especificamente como derivar as componentes da velocidade para achar a aceleração total.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar que a aceleração em um fluido é dada pela derivada temporal da velocidade mais a parte advinda do movimento dentro do campo de velocidade. Como a velocidade não depende do tempo, a aceleração total a = (u cdot nabla) u é:
Onde é o campo de velocidade.

Passo 3

Vamos calcular cada componente da aceleração. Primeiro, precisamos das derivadas parciais de partial upartial x = U0L, partial upartial y = 0 e partial vpartial x = 0, partial vpartial y = -U0L em relação a e :

Passo 4

Agora, aplicamos a fórmula da aceleração:
ax = u partial upartial x + v partial upartial y = U0 (1 + xL) cdot U0L + (-U0 yL) cdot 0 = U0^2L (1 + xL)
ay = u partial vpartial x + v partial vpartial y = U0 (1 + xL) cdot 0 + (-U0 yL) cdot (-U0L) = U0^2 yL^2

Passo 5

A maior aceleração vai ocorrer onde e são máximas. Observando , ela aumenta com , então o máximo ocorre no maior valor de . Para , como depende de , o máximo ocorre no ponto onde é máximo, que geralmente é nas paredes do tubo ( , se for o raio).

Passo 6

Para encontrar o valor numérico da maior aceleração, vamos considerar que o máximo de ax = U0^2L (1 + LL) = 2 U0^2L ocorre em ay = U0^2 RL^2 e amax = raizax^2 + ay^2 = raiz(2 U0^2L)^2 + (U0^2 RL^2)^2 :
A aceleração total máxima é dada por:

Resposta

A maior aceleração ocorre na direção e seu valor numérico é .

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