(b) (1,5 pontos) Encontre os máximos e mínimos absolutos da função na curva de interseção do plano com o cilindro

Passo 1

O exercício pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função na curva de interseção entre o plano e o cilindro . Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a otimização de funções restritas a curvas, utilizando parâmetros para representar a curva de interseção.

Passo 2

Primeiro, precisamos descrever a curva de interseção das duas superfícies dadas: o plano e o cilindro . Como o cilindro é definido pela equação , podemos representar e usando coordenadas paramétricas de círculo:
onde varia de a .

Passo 3

Com e parametrizados, substituímos esses valores na equação do plano para encontrar :
Assim, a curva de interseção pode ser descrita parametricamente por:

Passo 4

Agora, substituímos essas expressões paramétricas na função :
Sabemos que , então simplificamos:

Passo 5

Para encontrar os máximos e mínimos de , observamos que é uma função trigonométrica que pode ser reescrita na forma . Sabemos que a expressão tem um valor máximo de e um mínimo de .
No nosso caso, e , então:

Passo 6

Assim, o valor máximo de é:
E o valor mínimo de é:

Resposta

Os máximos e mínimos absolutos da função na curva de interseção são:
  • Máximo absoluto:
  • Mínimo absoluto:

Exercícios relacionados

Dê um exemplo, se possível, de uma transformação linear tal que e
Considere a função .
(a) (1 ponto) Prove que é contínua em ;
Um corpo tem temperatura dada por:
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à no ponto e as equações paramétricas da reta normal à em ;