(b) (1,5 pontos) Encontre os máximos e mínimos absolutos da função
na curva de interseção do plano
com o cilindro
Passo 1
O exercício pede para encontrar os valores máximos e mínimos absolutos da função
na curva de interseção entre o plano
e o cilindro
. Vamos precisar usar conceitos de cálculo multivariável, especificamente a otimização de funções restritas a curvas, utilizando parâmetros para representar a curva de interseção.
Passo 2
Primeiro, precisamos descrever a curva de interseção das duas superfícies dadas: o plano
e o cilindro
. Como o cilindro é definido pela equação
, podemos representar
e
usando coordenadas paramétricas de círculo:
onde
varia de
a
.
Passo 3
Com
e
parametrizados, substituímos esses valores na equação do plano para encontrar
:
Assim, a curva de interseção pode ser descrita parametricamente por:
Passo 4
Agora, substituímos essas expressões paramétricas na função
:
Sabemos que
, então simplificamos:
Passo 5
Para encontrar os máximos e mínimos de
, observamos que
é uma função trigonométrica que pode ser reescrita na forma
. Sabemos que a expressão
tem um valor máximo de
e um mínimo de
.
No nosso caso,
e
, então:
Passo 6
Assim, o valor máximo de
é:
E o valor mínimo de
é:
Resposta
Os máximos e mínimos absolutos da função
na curva de interseção são:
- Máximo absoluto:
- Mínimo absoluto:
Exercícios relacionados
Dê um exemplo, se possível, de uma transformação linear tal que
e
Considere a função
.
(a) (1 ponto) Prove que é contínua em
;
(a) (1 ponto) Prove que
Um corpo tem temperatura dada por:
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à no ponto
e as equações paramétricas da reta normal à
em
;
(b) (1 ponto) Determine o plano tangente à