(3,0 pontos) Encontre uma representação em série de potências para:
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Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função
. Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, onde a gente expressa funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de
. Para resolver, vamos precisar usar a série de Taylor para o logaritmo natural.
Passo 2
Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para
. A série de Taylor para essa função em torno de 0 é:
Essa série vale quando
, ou seja, quando o valor absoluto de
é menor que 1.
Passo 3
No nosso caso, a função é
. Podemos fazer uma substituição para adaptar a série de Taylor que lembramos. Vamos identificar
. Assim, a condição para a convergência da série fica
, ou seja,
.
Passo 4
Agora, substituímos
na série de Taylor:
Isso significa que podemos escrever a função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de
.
Passo 5
Podemos também escrever os primeiros termos da série para ficar mais claro:
Cada termo alterna o sinal e envolve potências crescentes de
multiplicadas por 5.
Resposta
A representação em série de potências para
é: