(3,0 pontos) Encontre uma representação em série de potências para:
[3] f(x) = ln(1 + 5x)

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício que pede para encontrar uma representação em série de potências para a função . Isso está dentro do conteúdo de séries de potências, onde a gente expressa funções como somas infinitas de termos envolvendo potências de . Para resolver, vamos precisar usar a série de Taylor para o logaritmo natural.

Passo 2

Primeiro, vamos lembrar qual é a série de potências para . A série de Taylor para essa função em torno de 0 é:
Essa série vale quando , ou seja, quando o valor absoluto de é menor que 1.

Passo 3

No nosso caso, a função é . Podemos fazer uma substituição para adaptar a série de Taylor que lembramos. Vamos identificar . Assim, a condição para a convergência da série fica , ou seja, .

Passo 4

Agora, substituímos na série de Taylor:
Isso significa que podemos escrever a função como uma soma infinita de termos envolvendo potências de .

Passo 5

Podemos também escrever os primeiros termos da série para ficar mais claro:
Cada termo alterna o sinal e envolve potências crescentes de multiplicadas por 5.

Resposta

A representação em série de potências para é:

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