Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(f)
(f)
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para provar que a soma dos termos
de
até
é igual a
. Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma ferramenta poderosa para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.
Passo 2
Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para
.
Calculando a soma para
:
E o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.
Passo 3
Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum
. Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.
Passo 4
Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para
, então também é verdadeira para
. Vamos calcular a soma para
:
Usando a hipótese de indução:
Fatorando
:
Portanto, a afirmação é verdadeira para
.
Resposta
Assim, pelo Princípio da Indução Matemática, a igualdade
é verdadeira para todo
.