Utilize o Princípio de Indução Finita para demonstrar as afirmações
(f) sumi=1^n i cdot i!=(n+1)!-1

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para provar que a soma dos termos de até é igual a . Para isso, vamos usar o Princípio da Indução Matemática, que é uma ferramenta poderosa para demonstrar que uma afirmação é verdadeira para todos os números naturais.

Passo 2

Base da Indução: Primeiro, vamos verificar se a afirmação é verdadeira para sumi=1^1 i cdot i! = 1 cdot 1! = 1 .
Calculando a soma para (1+1)! - 1 = 2! - 1 = 2 - 1 = 1 :
E o lado direito da equação:
Como ambos os lados são iguais, a base da indução está confirmada.

Passo 3

Hipótese de Indução: Agora, assumimos que a afirmação é verdadeira para algum sumi=1^k i cdot i! = (k+1)! - 1 . Ou seja, assumimos que:
Essa suposição é chamada de hipótese de indução.

Passo 4

Passo Indutivo: Precisamos mostrar que, se a afirmação é verdadeira para sumi=1^k+1 i cdot i! = ( sumi=1^k i cdot i! ) + (k+1) cdot (k+1)! , então também é verdadeira para = (k+1)! - 1 + (k+1) cdot (k+1)! . Vamos calcular a soma para = (k+1)! (1 + (k+1)) - 1 = (k+1)! cdot (k+2) - 1 = (k+2)! - 1 :
Usando a hipótese de indução:
Fatorando :
Portanto, a afirmação é verdadeira para .

Resposta

Assim, pelo Princípio da Indução Matemática, a igualdade é verdadeira para todo .

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