Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
a)
Passo 1
Beleza! A gente tem que trabalhar com uma série geométrica aqui. Nosso objetivo é escrever os 5 primeiros termos dessa série, descobrir se ela converge ou diverge, e se convergir, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender como uma série geométrica funciona e usar algumas fórmulas básicas.
Passo 2
Primeiro, vamos identificar a fórmula geral da série geométrica que temos: . Isso significa que cada termo da série pode ser encontrado substituindo diferentes valores de .
Vamos calcular os 5 primeiros termos:
Para :
Para :
Para :
Para :
Para :
Então, os 5 primeiros termos são: , , , , .
Passo 3
Agora, vamos ver se essa série converge ou diverge. Em uma série geométrica, a série converge se o valor absoluto da razão comum for menor que 1, ou seja, . Se , a série diverge.
Vamos identificar a razão comum da nossa série. Comparando com a fórmula geral , vemos que:
Calculando o valor absoluto:
Como é menor que 1, a série converge.
Passo 4
Como a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
onde S = 131 - (-23) = 131 + 23 = 1353 = 13 times 35 = 15 é o primeiro termo e é a razão comum.
No nosso caso, o primeiro termo e . Substituindo na fórmula:
Resposta
Os 5 primeiros termos da série são , , , , . A série converge e a soma dela é .