Nos casos escreva os 5 primeiros termos das séries geométricas, diga se a mesma diverge ou converge, e no caso convergente determine sua soma
a) sumn=1^infty (-2)^n-13^n

Passo 1

Beleza! A gente tem que trabalhar com uma série geométrica aqui. Nosso objetivo é escrever os 5 primeiros termos dessa série, descobrir se ela converge ou diverge, e se convergir, calcular a soma dela. Para isso, vamos precisar entender como uma série geométrica funciona e usar algumas fórmulas básicas.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar a fórmula geral da série geométrica que temos: sumn=1^infty (-2)^n-13^n. Isso significa que cada termo da série pode ser encontrado substituindo diferentes valores de (-2)^1-13^1 = (-2)^03 = 13 .
Vamos calcular os 5 primeiros termos:
Para (-2)^2-13^2 = (-2)^19 = -29 :
(-2)^3-13^3 = (-2)^227 = 427
Para (-2)^4-13^4 = (-2)^381 = -881 :
(-2)^5-13^5 = (-2)^4243 = 16243
Para :
Para :
Para :
Então, os 5 primeiros termos são: , , , , .

Passo 3

Agora, vamos ver se essa série converge ou diverge. Em uma série geométrica, a série converge se o valor absoluto da razão comum r = -23 for menor que 1, ou seja, |r| = |-23| = 23 < 1 . Se , a série diverge.
Vamos identificar a razão comum da nossa série. Comparando com a fórmula geral , vemos que:
Calculando o valor absoluto:
Como é menor que 1, a série converge.

Passo 4

Como a série converge, vamos calcular a soma dela. A fórmula para a soma de uma série geométrica infinita é:
S = a1 - r
onde S = 131 - (-23) = 131 + 23 = 1353 = 13 times 35 = 15 é o primeiro termo e é a razão comum.
No nosso caso, o primeiro termo e . Substituindo na fórmula:

Resposta

Os 5 primeiros termos da série são , , , , . A série converge e a soma dela é .

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