• para os pontos extremos,
g0=y1-y0x1-x0 e gN=yN-yN-1xN-xN-1
  • para os pontos interiores,
gi= & -(xi+1-xi)^2alphai yi-1 & +(xi+1-xi)^2-(xi-xi-1)^2alphai yi & +(xi-xi-1)^2alphai yi+1,
onde alphai=(xi+1-xi)(xi-xi-1)(xi+1-xi-1). Para o intervalo [-1,7], considere a seguinte malha: x0=-1, x1=2, x2=3 e x3=7. Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
T(y0, y1, y2, y3)=(g0, g1, g2, g3)
Observação: A fórmula para a aproximação da derivada é a inclinação da reta secante passando pelo ponto extremo e pelo ponto adjacente. A fórmula para os pontos interiores parece mais misteriosa é a derivada em xi da parábola que interpola os pontos (xi-1, yi-1),(xi, yi) e (xi+1, yi+1). Pode, ainda, ser calculada como uma média ponderada entre as inclinações das retas secantes obtidas utilizando-se os pontos (xi-1, yi-1) e ( xi, yi ) ou utilizandose (xi, yi) e (xi+1, yi+1). Neste caso, os pesos da ponderação são, respectivamente, (xi+1-xi) e (xi-xi-1) (peso maior para o ponto mais próximo).
(A) [rr-13 & 13 -112 & -23 0 & -45 0 & 0
rr0 & 0 34 & 0 34 & 120 -14 & 14]
(B) [rr-13 & 13 -524 & 215 0 & -445 0 & 0
rr0 & 0 340 & 0 -120 & 536 -14 & 14]
© [rr-1 & 1 -34 & 23 0 & -524 0 & 0
rr0 & 0 112 & 0 215 & 340 -15 & 15]
(D) [r-13 -16 0 0
rr13 & 0 0 & 16 -421 & 112 0 & -14
r0 0 328 14]
(E) [r-1 -45 0 0
rr1 & 0 34 & 120 -536 & 120 0 & -15
rr0 & 0 10 & 0 10 & 445 -15 & 15]
(F) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para a gente construir uma matriz que transforma os valores da função nos valores das aproximações da derivada. O conteúdo aqui envolve diferenças finitas e transformações lineares. Vamos precisar entender como calcular as derivadas aproximadas nas extremidades e nos pontos interiores usando as fórmulas fornecidas. Vamos resolver passo a passo!

Passo 2

Primeiro, vamos calcular as derivadas para os pontos extremos, ou seja, g0 e g3. A fórmula para os extremos é bem direta:
g0 = y1 - y0x1 - x0 e g3 = y3 - y2x3 - x2
Aqui, substituímos os valores dos pontos dados:
  • x0 = -1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 7
Então:
g0 = y1 - y02 - (-1) = y1 - y03
g3 = y3 - y27 - 3 = y3 - y24

Passo 3

Agora, vamos calcular as derivadas nos pontos interiores, ou seja, g1 e g2. A fórmula para os pontos interiores é um pouco mais complicada:
gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1
onde:
alphai = (xi+1 - xi)(xi - xi-1)(xi+1 - xi-1)
Vamos calcular alpha1 e alpha2:
Para i=1:
alpha1 = (x2 - x1)(x1 - x0)(x2 - x0) = (3-2)(2-(-1))(3-(-1)) = (1)(3)(4) = 12
Para i=2:
alpha2 = (x3 - x2)(x2 - x1)(x3 - x1) = (7-3)(3-2)(7-2) = (4)(1)(5) = 20
Agora, calculamos g1 e g2 usando os valores de alphai:
Para g1:
g1 = -(3-2)^212 y0 + (3-2)^2 - (2 - (-1))^212 y1 + (2 - (-1))^212 y2
g1 = -112 y0 + 1 - 912 y1 + 912 y2 = -112 y0 - 812 y1 + 912 y2
g1 = -112 y0 - 23 y1 + 34 y2
Para g2:
g2 = -(7-3)^220 y1 + (7-3)^2 - (3-2)^220 y2 + (3-2)^220 y3
g2 = -1620 y1 + 16 - 120 y2 + 120 y3 = -45 y1 + 1520 y2 + 120 y3
g2 = -45 y1 + 34 y2 + 120 y3

Passo 4

Agora, vamos montar a matriz que transforma (y0, y1, y2, y3) em (g0, g1, g2, g3). A matriz T vai ter os coeficientes que multiplicam cada yi para obter cada gj.
Baseado nos cálculos:
g0 &= 13 y1 - 13 y0 g1 &= 34 y2 - 23 y1 - 112 y0 g2 &= -45 y1 + 34 y2 + 120 y3 g3 &= 14 y3 - 14 y2
Organizando esses coeficientes na matriz:
T = -13 & 13 & 0 & 0 -112 & -23 & 34 & 0 0 & -45 & 34 & 120 0 & 0 & -14 & 14

Resposta

A matriz que representa a transformação linear é a Alternativa (A):
[rr-13 & 13 -112 & -23 0 & -45 0 & 0 rr0 & 0 34 & 0 34 & 120 -14 & 14]

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