onde . Para o intervalo , considere a seguinte malha: , e . Escreva a matriz que representa a transformação linear que leva os valores da função nos valores da aproximação da derivada,
Beleza, vamos lá! Temos um exercício que pede para a gente construir uma matriz que transforma os valores da função nos valores das aproximações da derivada. O conteúdo aqui envolve diferenças finitas e transformações lineares. Vamos precisar entender como calcular as derivadas aproximadas nas extremidades e nos pontos interiores usando as fórmulas fornecidas. Vamos resolver passo a passo!
Passo 2
Primeiro, vamos calcular as derivadas para os pontos extremos, ou seja, g0 e g3. A fórmula para os extremos é bem direta:
g0 = y1 - y0x1 - x0 e g3 = y3 - y2x3 - x2
Aqui, substituímos os valores dos pontos dados:
x0 = -1, x1 = 2, x2 = 3, x3 = 7
Então:
g0 = y1 - y02 - (-1) = y1 - y03
g3 = y3 - y27 - 3 = y3 - y24
Passo 3
Agora, vamos calcular as derivadas nos pontos interiores, ou seja, g1 e g2. A fórmula para os pontos interiores é um pouco mais complicada:
gi = -(xi+1 - xi)^2alphai yi-1 + (xi+1 - xi)^2 - (xi - xi-1)^2alphai yi + (xi - xi-1)^2alphai yi+1
Agora, vamos montar a matriz que transforma (y0, y1, y2, y3) em (g0, g1, g2, g3). A matriz T vai ter os coeficientes que multiplicam cada yi para obter cada gj.