Calcule
, a projeção ortogonal de
sobre
.
O valor de
, a
entrada de
, é:
Dica: Projete
em
. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1 (B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
O valor de
Dica: Projete
(A) 1 (B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei
Passo 1
Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta um subespaço
definido pela equação
no espaço
. A gente precisa calcular a projeção ortogonal de um vetor
sobre
, ou seja, encontrar
. Nosso foco é descobrir o valor da terceira entrada de
, que é
. Para isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e decomposição ortogonal.
Passo 2
Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor
sobre um subespaço
. A projeção ortogonal
é o vetor em
que está mais próximo de
. Para encontrar isso, podemos decompor
em duas partes: uma que está em
e outra que está no complemento ortogonal de
, denotado por
.
Passo 3
O complemento ortogonal
consiste em todos os vetores que são perpendiculares a todos os vetores de
. No caso de
ser definido pela equação
, o vetor normal a
é
. Isso significa que
é gerado por
.
Passo 4
Para projetar
em
, usamos a fórmula da projeção de
sobre
:
Aqui,
representa o produto escalar entre
e
, e
é o produto escalar de
consigo mesmo.
Passo 5
Depois de encontrar
, podemos obter
, que é a projeção de
sobre
, subtraindo essa projeção ortogonal de
:
Passo 6
Agora, focando na terceira entrada
de
, podemos observar que:
Isso porque a componente na direção de
no vetor normal
é
.
Passo 7
Para finalizar, precisamos substituir os valores de
,
e
na equação de
. Porém, como o vetor
não foi especificado no enunciado, não podemos calcular um valor numérico exato para
. Portanto, a resposta depende das componentes de
.
Resposta
Não é possível determinar
sem conhecer o vetor
. A opção correta é:
(I) Não sei