H=(x, y, z, w) in R^4 mid x+2 y-3 z+w=0
Calcule w=PH v, a projeção ortogonal de v sobre H.
O valor de w3, a 3^a entrada de w, é:
Dica: Projete v em H^perp. Procure entender por que isto é mais fácil.
(A) 1 (B) 2
© 3
(D) 4
(E) 5
(F) 6
(G) 7
(H) 8
(I) Não sei

Passo 1

Beleza, vamos resolver esse exercício juntos! A questão nos apresenta um subespaço definido pela equação no espaço . A gente precisa calcular a projeção ortogonal de um vetor sobre , ou seja, encontrar . Nosso foco é descobrir o valor da terceira entrada de , que é . Para isso, vamos usar conceitos de projeção vetorial e decomposição ortogonal.

Passo 2

Primeiro, vamos entender o que significa projetar um vetor sobre um subespaço . A projeção ortogonal é o vetor em que está mais próximo de . Para encontrar isso, podemos decompor em duas partes: uma que está em e outra que está no complemento ortogonal de , denotado por .

Passo 3

O complemento ortogonal consiste em todos os vetores que são perpendiculares a todos os vetores de . No caso de ser definido pela equação , o vetor normal a é . Isso significa que é gerado por .

Passo 4

Para projetar projH^perp v = ( v cdot nn cdot n ) n em , usamos a fórmula da projeção de sobre :
Aqui, representa o produto escalar entre e , e é o produto escalar de consigo mesmo.

Passo 5

Depois de encontrar w = v - projH^perp v , podemos obter , que é a projeção de sobre , subtraindo essa projeção ortogonal de :

Passo 6

Agora, focando na terceira entrada w3 = v3 - ( v cdot nn cdot n ) (-3) de , podemos observar que:
Isso porque a componente na direção de no vetor normal é .

Passo 7

Para finalizar, precisamos substituir os valores de , e na equação de . Porém, como o vetor não foi especificado no enunciado, não podemos calcular um valor numérico exato para . Portanto, a resposta depende das componentes de .

Resposta

Não é possível determinar sem conhecer o vetor . A opção correta é:
(I) Não sei

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