lang<= p, qrang<==integral0^1 p(x) q(x) d x
Assinale a projeção ortogonal de p(x)=4 x^2-4 x+2 na reta gerada por q(x)=2-x.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de p(x) e k q(x), para alguns valores de k. O observe que a melhor aproximação de 4 x^2-4 x+2 no intervalo [0,1] por um múltiplo de 2-x é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em [0,2] a melhor aproximação será outra).
(A) 127-6 x7
(B) 24 x^27-24 x7+127
© 107-5 x7
(D) 16 x^27-16 x7+87
(E) 87-4 x7
(F) 20 x^27-20 x7+107
(G) 67-3 x7
(H) 12 x^27-12 x7+67
(I) Não sei

Passo 1

Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a projeção ortogonal da função lang<= p, q rang<= = integral0^1 p(x) q(x) , dx na reta gerada por . Para isso, vamos usar conceitos de produtos internos e projeções em espaços vetoriais de funções. Precisaremos calcular os produtos internos e utilizando a fórmula dada:

Passo 2

Primeiro, vamos calcular lang<= p, q rang<= = integral0^1 (4x^2 - 4x + 2)(2 - x) , dx :
(4x^2 - 4x + 2)(2 - x) = 8x^2 - 4x^3 - 8x + 4x^2 + 4 - 2x
Vamos expandir a expressão dentro do integral:
-4x^3 + 12x^2 - 10x + 4
Simplificando:
integral0^1 (-4x^3 + 12x^2 - 10x + 4) , dx = [ -x^4 + 4x^3 - 5x^2 + 4x ]0^1 = (-1 + 4 - 5 + 4) - 0 = 2
Agora, integramos termo a termo:
Portanto, .

Passo 3

Agora, vamos calcular lang<= q, q rang<= = integral0^1 (2 - x)(2 - x) , dx = integral0^1 (4 - 4x + x^2) , dx :
integral0^1 4 , dx - integral0^1 4x , dx + integral0^1 x^2 , dx = [4x]0^1 - [2x^2]0^1 + [x^33]0^1 = (4 - 0) - (2 - 0) + (13 - 0) = 4 - 2 + 13 = 73
Integrando termo a termo:
Portanto, .

Passo 4

Com os valores dos produtos internos, podemos encontrar a projeção ortogonal de projq p = ( lang<= p, q rang<=lang<= q, q rang<= ) q em projq p = ( 273 ) (2 - x) = ( 67 ) (2 - x) = 127 - 6x7 usando a fórmula:
Substituindo os valores:

Resposta

A projeção ortogonal de 127 - 6x7 na reta gerada por é:
Portanto, a alternativa correta é a (A).

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