Assinale a projeção ortogonal de
na reta gerada por
.
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
e
, para alguns valores de
. O observe que a melhor aproximação de
no intervalo
por um múltiplo de
é dada pela projeção ortogonal que você calculou (observe que a melhor aproximação depende do intervalo escolhido; por exemplo em
a melhor aproximação será outra).
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Atividade adicional (opcional): após resolver este problema, será útil para interpretar o resultado fazer o seguinte. Use um software para plotar os gráficos de
(A)
(B)
©
(D)
(E)
(F)
(G)
(H)
(I) Não sei
Passo 1
Vamos resolver o exercício que pede para encontrar a projeção ortogonal da função
na reta gerada por
. Para isso, vamos usar conceitos de produtos internos e projeções em espaços vetoriais de funções. Precisaremos calcular os produtos internos
e
utilizando a fórmula dada:
Passo 2
Primeiro, vamos calcular
:
Vamos expandir a expressão dentro do integral:
Simplificando:
Agora, integramos termo a termo:
Portanto,
.
Passo 3
Agora, vamos calcular
:
Integrando termo a termo:
Portanto,
.
Passo 4
Com os valores dos produtos internos, podemos encontrar a projeção ortogonal de
em
usando a fórmula:
Substituindo os valores:
Resposta
A projeção ortogonal de
na reta gerada por
é:
Portanto, a alternativa correta é a (A).